密度矩阵背后的动机是什么？而且，纯态密度矩阵和混合态密度矩阵有什么区别？

^{这是纯量子态和混合量子态有什么区别的自我解答。＆如何找到一个量子比特的密度矩阵？欢迎您写其他答案。}

动机

密度矩阵背后的动机是表示缺乏对给定量子系统状态的了解，将已知系统的所有可能测量结果封装在该系统的单个描述中。密度矩阵表示具有消除与全局相位相关的任何问题的附加优点，因为 缺乏知识可能以多种方式出现：

$$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$$

• 主观知识的匮乏-裁判为您准备一组概率为的状态，但是您不知道哪个。即使他们知道他们准备了哪个，由于您不知道，您也必须根据对状态的可能集合及其对应的概率描述来对其进行描述。$\{|\phi_i\rangle\}$$p_i$$|\phi_j\rangle$$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$

• 客观上缺乏知识-如果量子系统是一个更大的纠缠态的一部分，则不可能将系统描述为纯态，但是所有可能的测量结果都由。$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

但是，有趣的是，客观知识的缺乏会变得主观，第二方可以对其余的纠缠状态执行操作。他们可以知道测量结果等信息，但是如果不进行下去，那么持有原始量子系统的人就没有新知识，因此可以使用与以前相同的密度矩阵来描述其系统，但是现在它是一种主观的描述。

同样重要的是要注意，选择一种表示密度矩阵的特定方式，例如，是一个非常主观的选择。它可能是由特定的准备过程引起的，但是在数学上，给出相同矩阵的任何描述都是等效的。例如，在单个量子位上，被称为最大混合状态。由于基础的完整性关系，可以将其表示为50:50混合或使用任何 1量子位基础的两个正交状态。 $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$$\rho=\frac12\mathbb{I}$

$$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$$

纯态和混合态

纯态和混合态的密度矩阵之间的区别很简单-纯态是一种特殊情况，可以用，但是不能以这种形式编写混合状态。从数学上讲，这意味着纯状态的密度矩阵的等级为1，而混合状态的密度矩阵的等级大于1。最好的计算方法是通过：表示纯状态，否则为混合状态。为此，请回想，这意味着所有特征值之和为1。此外，是正半定数，因此所有特征值都是实数且非负数。因此，如果$\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$$\text{Tr}(\rho^2)$$\text{Tr}(\rho^2)=1$$\text{Tr}(\rho)=1$$\rho$$\rho$是1级，特征值是，并且它们的和平方显然是1。任何其他总和为1的非负数的和平方必须小于1。$(1,0,0,\ldots ,0)$

纯状态对应于系统的完善知识，尽管有关量子力学的有趣之处在于，这并不意味着完全了解可能的测量结果。混合状态表示一些不完善的知识，无论是准备知识还是更大的希尔伯特空间知识。

从单个qubit上的Bloch球图片可以看出混合状态的描述要丰富得多：纯状态是所有在球体表面上的状态，而混合状态是所有在体积内的状态。在参数计数方面，您需要三个参数，而不是两个参数，多余的一个对应于Bloch向量的长度。 其中是3元素单位向量，是Pauli矩阵的向量，表示纯状态，表示混合状态。

$$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$$ $\underline{n}$$\underline{\sigma}$$r=1$$0\leq r<1$

密度矩阵背后的动机^[1]：

在量子力学中，量子系统的状态由状态矢量表示，表示为（和明显的ket）。具有状态矢量的量子系统称为纯状态。但是，系统也可能处于不同状态向量的统计集合中。例如，可以有一个概率状态向量是和的机会，所述状态向量是。该系统将处于混合状态$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$50\%$$|\psi_1\rangle$$50\%$$|\psi_2\rangle$。密度矩阵对于混合状态特别有用，因为任何状态（纯状态或混合状态）都可以通过单个密度矩阵来表征。混合态不同于量子叠加。与量子叠加中的量子概率不同，混合状态下的概率是经典概率（就像在经典概率论/统计学中学习的概率一样）。实际上，纯态的量子叠加是另一个纯态，例如。在这种情况下，系数不是概率，而是概率幅度。$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$$\frac{1}{\sqrt {2}}$

示例：光偏振

纯态和混合态的一个示例是光偏振。光子可以具有两个螺旋度，分别对应于两个正交的量子态（右圆极化）和（左圆极化）。光子也可以处于叠加状态，例如（垂直极化）或（水平极化）。更一般而言，它可以处于（具有）的任何状态，分别对应于线性，圆形或$|R\rangle$$|L\rangle$$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$$\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$$\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$椭圆极化。如果我们通过圆偏振器传递偏振光，该偏振器仅允许偏振光或仅偏振光，则在两种情况下强度都会降低一半。这使它看起来像光子的一半在状态和其他在状态。但这是不正确的：和都被垂直线性偏振器部分吸收，但是$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$$|R\rangle$$|L\rangle$$|R\rangle$$|L\rangle$$|R\rangle$$|L\rangle$$\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ 光将通过该偏振器而没有任何吸收。

但是，诸如来自白炽灯泡的光之类的非偏振光不同于任何状态，例如，（线性，圆偏振或椭圆偏振）。与线性或椭圆偏振光不同，无论偏振器的方向如何，它都会以强度损失通过偏振器。并且不同于圆偏振光，它不能由线性任何偏振波片，因为随机取向的偏振将从与随机取向的波片出现。实际上，非偏振光不能描述为任何状态$\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$$50\%$$\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$在一定意义上。然而，非偏振光可与整体平均地描述的，例如，每个光子或者是与概率或与概率。如果每个光子要么垂直极化会发生相同的行为概率或与水平极化概率。$|R\rangle$$50\%$$|L\rangle$$50\%$$50\%$$50\%$

因此，非偏振光不能用任何纯态来描述，而可以用至少两种方式描述为纯态的统计集合（左半边和右半边的圆偏振的集合，或垂直和半边水平的一半线性偏振的集合。 ）。这两个合奏在实验上是完全无法区分的，因此它们被视为相同的混合状态。密度矩阵的优点之一是每个混合状态只有一个密度矩阵，而每种混合状态都有许多纯状态的统计集合。然而，密度矩阵包含计算混合态的任何可测量性质所需的所有信息。

混合状态从何而来？要回答这个问题，请考虑如何产生非偏振光。一种方法是使用处于热平衡状态的系统，该系统是大量微状态的统计混合物，每种状态都有一定的概率（玻尔兹曼因子），由于热波动会迅速从一种状态切换到另一种状态。热随机性解释了为什么白炽灯泡会发出非偏振光。产生非偏振光的第二种方法是在系统准备过程中引入不确定性，例如，使其通过双折射晶体具有粗糙的表面，因此光束的稍有不同的部分会获得不同的偏振。产生非偏振光的第三种方法是使用EPR设置：放射性衰变可以发射两个光子，它们以相反的方向行进，处于量子状态。这两个光子在一起处于纯状态，但是如果仅看一个光子而忽略另一个，则光子的行为就像非偏振光一样。$\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$

更一般而言，混合态通常是由初始状态的统计混合（例如在热平衡中），制备过程的不确定性（例如光子可以传播的路径略有不同）或观察与之纠缠的子系统引起其他的东西。

获得密度矩阵^[2]：

如前所述，系统可以处于不同状态向量的统计集合中。说有概率状态向量是和概率状态向量是是正在编写的每个状态的相应的经典的概率。$p_1$$|\psi_1\rangle$$p_2$$|\psi_2\rangle$

假设，现在我们要找到运算符的期望值。给出为：$\hat{O}$

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$$

请注意，和都是标量，标量的痕迹也是标量。因此，我们可以将上面的表达式写成：$\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$$p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

$$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$$

现在，使用轨迹的循环不变性和线性属性：

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$$

$$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$$

其中是我们所谓的密度矩阵。密度运算符包含计算实验的期望值所需的所有信息。$\rho$

因此，密度矩阵基本上是$\rho$

$$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$$ 在这种情况下，

很明显，您可以推断出这种逻辑，用于一个概率不同的系统可能只有两个以上的状态向量。

计算密度矩阵：

让我们举个例子，如下。

在上图中，白炽灯泡发出具有混合态密度矩阵的完全随机的偏振光子。$1$$2$

如前所述，非偏振光可以用总体平均值来解释，即每个光子是或，每个概率为。另一个可能的整体平均值是：每个光子要么是要么是，其每个概率。还有许多其他可能性。尝试自己提出一些建议。需要注意的一点是，所有这些可能的合奏的密度矩阵将完全相同。这正是密度矩阵分解为纯态并不唯一的原因。让我们检查：$|R\rangle$$|L\rangle$$50%$$\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$$\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$$50\%$

情况1：＆$50\%$ $|R\rangle$$50\%$ $|L\rangle$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$$

现在，以，可以表示为而可以表示为$\{|R\rangle, |L\rangle\}$$|R\rangle$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$|L\rangle$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$

情况2：＆$50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$$50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

在，可以表示为和可以表示为$\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$ 因此，我们可以清楚地看到，在情况1和情况2中，我们得到相同的密度矩阵。

但是，在通过垂直平面偏振器（3）之后，其余的光子都被垂直偏振（4）并具有纯态密度矩阵：

$$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

在，可以表示为而表示为$\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$$|R\rangle$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$|L\rangle$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

单个量子位的情况：

如果您的系统仅包含一个量子位，并且您知道它的状态（其中），那么您已经确定1-qubit系统的状态的概率为！$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$|\alpha|^2+|\beta|^2$$|\psi\rangle$$1$

在这种情况下，密度矩阵将简单地为：

$$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$$

如果您使用正交基，$\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$

密度矩阵将简单地为：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

这与上面的“案例2”非常相似，因此我没有显示计算结果。如果这部分内容不清楚，您可以在评论中提出问题。

但是，您也可以像@DaftWullie在回答中那样使用基础。$\{|0\rangle,|1\rangle\}$

在1量子位状态的一般情况下，以基础的密度矩阵为：$\{|0\rangle,|1\rangle\}$

$$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$$

注意，该矩阵是幂等的，即。这是纯态密度矩阵的重要属性，有助于我们将它们与混合态密度矩阵区分开。$\rho$$\rho = \rho^2$

必修课：

1.证明纯态密度矩阵可以对角化为。2.证明纯态的密度矩阵是幂等的。$\text{diag}(1,0,0,...)$

---

资料来源：

[1]：https：//en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]：https：//physics.stackexchange.com/a/158290

图片积分：

用户Kaidor 上维基