Toffoli门与Popescu-Rohrlich盒之间是什么关系？

背景

Toffoli门是3输入3输出经典逻辑门。它将发送到。其重要之处在于它对于可逆（经典）计算是通用的。$(x, y, a)$$(x, y, a \oplus (x \cdot y))$

Popescu-Rohrlich框是非信号关联的最简单示例。它采用一对满足的输入和输出，使得和都是统一的随机变量。对于某些类别（但不是全部）的非信号相关性，它是通用的。$(x, y)$$(a, b)$$x \cdot y = a \oplus b$$a$$b$

在我看来，这两个对象看起来极为相似，特别是如果我们通过输出扩大PR框的话。该2输入4输出PR盒“是” 3输入3输出Toffoli门，但第三个输入被随机输出代替。但是我一直找不到与它们相关的参考。$(x, y, a, b) = (x, y, a, a \oplus (x \cdot y))$

题

Toffoli门与Popescu-Rohrlich盒之间是什么关系？在可逆的经典电路和将一个映射到另一个的非信号相关之间是否存在某种对应关系？

观察结果

1. 指定非信令关联不仅需要功能，还需要将每个输入和输出分配给控制它的一方。如果我们允许Alice输入两个输入，而Bob读取两个输出，则PR框将不再是无信号的。或在我们的“增强型” PR框中，如果爱丽丝输入，则她也必须是读取副本的那个。因此，对于一般电路（某些输入可能被随机输出代替）确定将输入和输出分配给各方的所有方式，使得无法进行通信似乎是不容易的。$x$$x$

2. 我们可以将以上过程应用于任何逻辑门，包括不可逆的逻辑门。例如，我们可以使用AND并将输入中的一个替换为随机输出，并获得一个函数和一个输入和一对，其中是一个统一的随机变量。但是，是条件是，因此，唯一的非信令方式是输入 Alice 收到。但是，该过程可以经典地通过共享的随机性来重现。因此，我希望包括不可逆门不会扩展人们可以构建的非信号相关类。（一个，X ⋅ 一个）一个X ⋅ 一个0 X = 0 X X ⋅ $x$$(a, x \cdot a)$$a$$x \cdot a$$0$$x = 0$$x$$x \cdot a$

关联Toffoli门和PR框的自然方法是将它们都视为两个二进制输入的AND功能的表示，但是方式不同。这个问题与AND函数的联系是显而易见的，并且得到了它的明确承认，但是我将以稍微不同的方式来表达它：

1. Toffoli门当然是将AND表示为可逆函数的自然方式。它遵循通常的模式，将任意函数为。| X ，一个⟩ ↦ | X ，一个⊕ ˚F （X ）$f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$|x,a\rangle \mapsto |x,a\oplus f(x)\rangle$

2. PR框可以看作是AND函数的分布式形式。输入上PR框的输出可以表示为或等效地表示为，其中是统一生成的随机位。因此，PR盒的输出是完全相关或完全反相关的随机位对，具体取决于输入的AND是0还是1。这很有趣，因为Alice和Bob共同知道AND函数的输出（他们可以通过计算其输出位的XOR来获得），而他们各自根本不了解此值。（AND （X ，ÿ ）⊕ 一，一）（一，AND （X ，ÿ ）⊕ 一个）一个∈ { 0 ，1 $(x,y)$$(\text{AND}(x,y)\oplus a, a)$$(a,\text{AND}(x,y)\oplus a)$$a\in\{0,1\}$

PR盒以这种分布式方式有效地计算AND功能的想法是Wim van Dam证明存在PR盒时通信复杂性变得微不足道的一个关键思想：

温姆·范·达姆（Wim van Dam）。超强的非本地性带来的难以置信的后果。 自然计算12（1）：9-12，2013。