量子算法可以有效解决什么样的现实问题（不包括密码学）？

这个问题非常相似，是否有关于使用量子计算机可以更有效地解决哪些问题的一般性陈述？

但是，提供给这些问题的答案主要是从 理论/数学的角度来看的。

对于这个问题，我对实践/工程观点更感兴趣。因此，我想了解一种量子算法可以比您目前使用经典算法能够更有效地解决哪些问题。因此，我真的以为您不了解所有可以最佳解决同一问题的经典算法！

我知道量子动物园表达了一个完整的问题集合，对于这些问题，存在一种量子算法，该算法的运行效率比经典算法高，但是我无法将这些算法与实际问题联系起来。

我知道Shor的因式分解算法在密码学领域非常重要，但是我故意将密码学排除在这个问题的范围之外，因为密码学世界是一个非常特殊的世界，值得他自己提出问题。

在有效的量子算法中，我的意思是算法中至少必须有一个步骤必须转换为n位量子计算机上的量子电路。因此，基本上，该量子电路将创建一个 x矩阵，并且其执行将以一定的可能性给出可能性之一（因此，不同的运行可能会得出不同的结果-其中，每可能性由构造的 x厄米矩阵确定。）$2^n$$2^n$$2^n$$2^n$$2^n$$2^n$

因此，我认为要回答我的问题，必须将现实世界问题的某些方面/特征映射到 Hermitian矩阵。那么，实际问题的什么样的方面/特征可以映射到这样的矩阵？$2^n \times 2^n$

对于现实世界中的问题，我的意思是一个可能由量子算法解决的实际问题，而不是一个可能使用量子算法的领域。

对于使用量子算法（与现有的经典算法相比）可以更有效地解决哪些问题，我不会给出任何精确的陈述，而是给出一些示例：

• 离散傅立叶变换（DFT）几乎用于所有现代音乐系统，例如iPod。该算法单方面改变了数字音乐的世界。请参阅此摘要。然而，量子傅里叶变换可以进一步改善DFT的复杂性，即从到。我在这里为此写了一个答案。$\mathcal{O}(N\log(N))$$\mathcal{O}(\log^2 N)$

• 线性方程组的量子算法提供了比经典方法（如高斯消去）更快的指数加速。

由Aram Harrow，Avinatan Hassidim和Seth Lloyd设计的方程线性系统的量子算法是2009年制定的用于求解线性系统的量子算法。该算法估计对给定线性方程组的解矢量进行标量测量的结果。

与Shor的因式分解算法，Grover的搜索算法和量子模拟一样，该算法是有望提供比经典方法更快的主要基本算法之一。假设线性系统是稀疏的并且具有较低的条件数 ，并且用户对解矢量上的标量测量结果感兴趣，而不是对解矢量本身的值感兴趣，那么算法的运行时间为，其中是线性系统中变量的数量。相对于以 或${\displaystyle \kappa }$$O(\log(N)\kappa ^{2})$${\displaystyle N}$${\displaystyle O(N\kappa )}$$O(N{\sqrt {\kappa }})$表示正半定矩阵。

• 哈密​​顿模拟：

量子计算机最早（也是最重要）的应用之一可能是量子力学系统的仿真。对于某些量子系统，尚无有效的经典模拟方法，但可以在通用量子计算机上进行模拟。“模拟”物理系统是什么意思？根据OED，模拟是“通过适当类似的情况或设备模仿某些情况或过程（经济，军事，机械等）行为的技术”。在这里，模拟将意味着近似于物理系统的动力学。与其将我们的模拟器定制为仅模拟一种类型的物理系统（有时称为模拟模拟），

有关详细信息，请参阅Ashley Montaro 的讲义的第7章。

• 混合量子/经典算法：

混合量子/经典算法将量子态准备和测量与经典优化相结合。这些算法通常旨在确定Hermitian算子的基态特征向量和特征值。

QAOA：

量子近似优化算法^[1]是量子退火的玩具模型，可用于解决图论中的问题。该算法利用经典的量子操作优化来最大化目标函数。

变分量子本征求解器

VQE算法应用经典优化来最小化ansatz状态的能量期望，以找到分子的基态能量^[2]。这也可以扩展为寻找分子的激发能。^[3]。

您可以在Wikipedia本身上找到更多此类示例。除此之外，还有许多可用于机器学习和数据科学的最新算法。如果我添加所有这些详细信息，则该答案将变得太长。然而，看到这和这和其中的引用。

[1]：量子近似优化算法 Farhi 等。（2014年）

[2]：量子处理器 Peruzzo 等人的变分特征值求解器。（2013年）

[3]：激发态的变分量子计算 Brierley 等。（2018）