线性方程组的量子算法（HHL09）：步骤2-初始状态的准备

^{这是用于线性方程组（HHL09）的Quantum算法的延续：步骤2-什么是$|\Psi_0\rangle$？}

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在《线性方程组的量子算法》（Harrow，Hassidim＆Lloyd，2009）一书中，没有给出该算法实际实现的细节。状态到底如何$|\Psi_0\rangle$ 和 $|b\rangle$被创建，有点像“ 黑匣子 ”（请参阅​​第2-3页）。

$$|\Psi_0\rangle = \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau = 0}^{T-1}\sin \frac{\pi (\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$$

和

$$|b\rangle = \sum_{1}^{N}b_i|i\rangle$$

哪里 $|\Psi_0\rangle$ 是时钟寄存器的初始状态，并且 $|b\rangle$ 是输入寄存器的初始状态。

（说）我想在IBM上执行他们的算法$16$-qubit量子计算机。我想解决一个方程$\mathbf{Ax=b}$ 哪里 $\mathbf{A}$ 是一个 $4\times 4$ 带实项的厄米矩阵和 $\mathbf{b}$ 是一个 $4\times 1$ 具有实际条目的列向量。

让我们举个例子：

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 1 & 7 \\ 4 & 6 & 7 & 1 \end{bmatrix}$$

和

$$\mathbf{b}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$$

给定尺寸 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{b}$，我们应该需要 $\lceil{\log_2 4\rceil}=2$ 输入寄存器的qubit和另一个 $6$ 假设我们希望用特征值表示时钟值的时钟寄存器的量子位 $90\%$ 准确性和高达 $3$位精度的特征值（这已经讨论过这里以前）。所以总$2+6+1=9$ 量子位将用于此目的（额外 $1$ qubit是ancilla）。

问题：

1. 使用此信息，可以创建初始状态$|\Psi_0\rangle$ 和 $|b\rangle$ 在IBM上 $16$ qubit版本？

2. 如果你认为 $4\times 4$太大了，无法在IBM Quantum计算机上实现，您甚至可以显示一个初始状态准备的示例，$2\times 2$ 厄米矩阵 $\mathbf{A}$ （或仅引用此类示例）。

我只是想对是否可以在IBM 16量子位量子计算机上完成（即是否可能）以及需要哪些门操作有一个大致的了解。如果不是IBM 16量子位量子计算机，可以使用QISKit仿真器来重新创建QISKit的初始状态准备吗$|\Psi_0\rangle$ 和 $|b\rangle$在HHL算法中？还有其他更好的选择吗？

无法创建初始状态 $\left| \Psi_0\right>$ 和 $\left|b\right>$在IBM 16 qubits版本上。另一方面，由于IBM芯片实现的门提供了这种可能性，因此可以用任意低的误差¹近似它们。

在这里，您要求2种不同的量子态：

1. $\left| b \right>$完全不受限制。状态$\left| b \right>$ 由一个向量表示 $N$ 复数可以是任何数（只要向量具有unit范数）。
2. $\left| \Psi_0 \right>$ 可以看作是 $\left| b \right>$，其中系数 $b_i$ 更受约束。

通过此分析，可以使用任何创建方法 $\left|b\right>$ 也可以用来创建 $\left| \Psi_0 \right>$。另一方面，$\left| \Psi_0 \right>$ 更受限制，我们可以希望存在更有效的算法来产生 $\left| \Psi_0 \right>$。

对...有用 $\left|b\right>$ 和 $\left|\Psi_0\right>$：基于量子逻辑电路的综合（Shende，Bullock和Markov，2006年），QISKit Python SDK实现了一种初始化任意量子状态的通用方法。

对...有用 $\left|\Psi_0\right>$：创建与有效可积概率分布相对应的叠加（Grover＆Rudolph，2002），提出了一种算法来快速初始化状态，该状态的振幅表示遵守某些约束的概率分布。这些约束得到尊重$\left|\Psi_0\right>$根据解决方程组线性系统的量子算法（Harrow，Hassidim＆Lloyd，2009），第5页最后一行。

对于在QISKit上的实现，以下是初始化给定量子状态的示例：

import qiskit

statevector_backend = qiskit.get_backend('local_statevector_simulator')

###############################################################
# Make a quantum program for state initialization.
###############################################################
qubit_number = 5
Q_SPECS = {
    "name": "StatePreparation",
    "circuits": [
        {
            "name": "initializerCirc",
            "quantum_registers": [{
                "name": "qr",
                "size": qubit_number
            }],
            "classical_registers": [{
                "name": "cr",
                "size": qubit_number
            }]},
    ],
}
Q_program = qiskit.QuantumProgram(specs=Q_SPECS)

## State preparation
import numpy as np
from qiskit.extensions.quantum_initializer import _initializer

def psi_0_coefficients(qubit_number: int):
    T = 2**qubit_number
    tau = np.arange(T)
    return np.sqrt(2 / T) * np.sin(np.pi * (tau + 1/2) / T)

def get_coeffs(qubit_number: int):
    # Can be changed to anything, the initialize function will take
    # care of the initialisation.
    return np.ones((2**qubit_number,)) / np.sqrt(2**qubit_number)
    #return psi_0_coefficients(qubit_number)

circuit_prep = Q_program.get_circuit("initializerCirc")
qr = Q_program.get_quantum_register("qr")
cr = Q_program.get_classical_register('cr')
coeffs = get_coeffs(qubit_number)
_initializer.initialize(circuit_prep, coeffs, [qr[i] for i in range(len(qr))])

res = qiskit.execute(circuit_prep, statevector_backend).result()
statevector = res.get_statevector("initializerCirc")
print(statevector)

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¹这里的“误差”是指在处理理想的量子计算机时理想状态与近似值之间的误差（即无退相干，无门误差）。

对于IBM计算机，具有4 x 4矩阵A的HHL算法可能过大。我根据arXiv 1302.1210 link 线性方程组的求解系统，尝试了算法的较小玩具版本

我在stackexchange上对此电路做了一些解释：https： //cs.stackexchange.com/questions/76525/could-a-quantum-computer-perform-linear-algebra-faster-than-a-classical-computer/ 77036＃77036

不幸的是，它只是一个1比特的输入，矩阵A = 2 x 2，在答案中给出了到IBM电路的链接。