对于非素数维的Qudit图状态，局部Clifford等价物是否具有直接图形表示？

该问题是先前QCSE问题的后续：“ 是否为非素数维定义了qudit图状态？ ”。从问题的答案看，使用图定义状态似乎没有错$d$但是，似乎二维状态的定义状态并没有类似地扩展到非素数维。

具体来说，对于qubit图状态，其流行和使用的一个关键方面是以下事实： 当且仅当存在一定顺序的局部补码序列使一个图与另一个图互补时，任何两个图状态才是局部Clifford等效项。无向图）。不用说，这在分析量子纠错，纠缠和网络体系结构方面是非常有用的工具。

考虑时 $n$-qudit图指出，等效图现在使用邻接矩阵加权 $A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$，在哪里 $A_{ij}$ 是边缘的重量 $(i,j)$ （与 $A_{ij}=0$表示不存在边）。在qudit案例中，研究表明，可以通过局部互补的泛化来类似地扩展LC等效性（$\ast_a v$）并包含边缘乘法运算（$\circ_b v$），其中：

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ 哪里 $a, b = 1, \ldots, d-1$ 并且所有算术都是模运算 $p$。

在图形上，这由以下操作表示（从参考文献2复制）：

但是，如果图状态是在非素数维的基数上定义的，那么我们可以看到这些操作（似乎）不能表示LC等值。

例如，以qudit状态 $|G\rangle$ 描绘了图 $G$ 在图1中，定义为qudit尺寸 $d=4$， 然后让 $x=y=z=2$，这样 $A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$。在这种情况下执行$\circ_2 1$ 然后 $A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$，因此是qudit $1$仅使用本地操作即可将其与所有其他qud纠缠在一起。显然，这是错误的，并且是由于先前问题的答案中提到的零除数的问题而发生的。

我的问题是：是否有任何图操作集合可以正确表示非素数维的Qudit图状态的局部Clifford等价性？

注意：我主要对直接应用于状态表示形式（作为单个加权图）的操作感兴趣，而不是像本节中建议的那样分解为多个素数图状态。“ 绝对最大纠缠的Qudit图状态 ”的4.3 。

在这种情况下使用模算术是不正确的。相反，应应用有限域算术。在$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$ 哪里 $x^2 = x + 1$ 和共轭 $a$ 被定义为 $\bar{a} = a^2$。

然后，加法，乘法和共轭表如下：

在这张照片中，我们有 $0 \equiv 0$， $1 \equiv 1$， $2 \equiv x$和 $3 \equiv x^2$ 这样 $2 \times 2 = 3$ 因此不会出现明显的不一致。