^{请注意词汇表：这个问题中使用了“哈密尔顿”一词来表示厄米矩阵。}

HHL算法似乎是量子计算领域研究的活跃课题，主要是因为它解决了一个非常重要的问题，即寻找线性方程组的解。

根据原始论文《量子算法求解线性方程组》（Harrow，Hassidim和Lloyd，2009年）以及在此站点上提出的一些问题

• 量子相位估计和HHL算法-是否需要特征值知识？
• 线性方程组的量子算法（HHL09）：步骤2-初始状态的准备和| b $\vert \Psi_0 \rangle$$\vert b \rangle$

HHL算法仅限于某些特定情况。这是HHL算法特征的摘要（可能不完整！）：

HHL算法

HHL算法求解方程的线性系统。 X ⟩ = | b ⟩ 具有以下限制：

局限性：$A$

• 必须是Hermitian（并且只有Hermitian矩阵有效，请参见聊天室中的讨论）。$A$
• 的特征值需要是在 [ 0 ，1 ）（见量子相位估计和HHL算法- ？所需特征值的知识）$A$$[0,1)$
• 需要有效地实施。目前，满足此属性的唯一已知矩阵为： $e^{iAt}$
  • 局部哈密尔顿（参见Universal Quantum Simulators（Lloyd，1996））。
  • 稀疏的哈密尔顿（见绝热量子态生成和统计零知识（Aharonov＆Ta-Shma，2003））。$s$

限制：$\vert b \rangle$

• 应有效地制备。这种情况适用于： $\vert b \rangle$
  1. 特定表达式 b ⟩。例如状态| b ⟩ = Ñ ⨂我= 0（| 0 ⟩ + | 1 $\vert b \rangle$ 是可有效制备的。 $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. 表示有效地积概率分布的离散化（见创建叠加对应于有效地积概率分布（格罗弗＆鲁道夫，2002） ）。$\vert b \rangle$

限制（输出）：$\vert x \rangle$

• $\vert x \rangle$$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

问题： 考虑到所有这些限制，并想象我们将在2050年（或者可能是2025年，知道吗？）具有容错的大规模量子芯片（即我们不受硬件限制），那么实际存在哪些问题HHL算法可以解决（包括仅将HHL用作子例程的问题）？

我知道纸张的量子的具体资源分析线性系统算法用于计算2D目标的电磁散射截面（谢勒，Valiron，茅，亚历山大，范登贝尔赫＆Chapuran，2016）和所述的相应的执行中在Quipper编程语言和我正在寻找其他真实世界的例子，其中亨达将适用于实践。我不需要已发表的论文，甚至不需要未发表的论文，我只想提供一些实际用例的示例。

编辑：

即使我对每个用例都感兴趣，我还是希望使用直接使用HHL（即不用作其他算法的子例程）的一些示例。

我对由HHL可以解决的微分算子离散化所产生的线性系统示例更感兴趣。

但是，让我再强调一次，您对您所知道的每个用例（无论是否有子例程）都感兴趣。

几年前，在量子算法以及 Montanaro和Pallister 的有限元方法中表明，HHL算法可以应用于有限元方法（FEM），这是一种“有效找到边界值解的数值近似方法的技术”。基于通过有限网格离散化参数空间的偏微分方程问题（BVP）”。

他们表明，在这种情况下，HHL可以用来（也许最多）在标准经典算法（“共轭梯度法”）上实现多项式加速。

关于实际用例，他们指出

$n$

$A$

Rebentrost 等。最近，他们在A量子Hopfield神经网络（2018）论文中使用了HHL09算法来优化Hopfield网络的能量函数。

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$$Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

简而言之，我相信一旦我们拥有具有足够数量的量子位和去相干时间的量子计算机，HHL算法将成为任何量子机器学习算法中最有用的子程序之一（因为几乎所有机器学习和神经网络算法涉及某种形式的“梯度下降”或“优化”。