量子态是单位向量……关于哪个范数？

我发现的最基本的量子态定义是（改写自Wikipedia的定义）

量子态由复数上有限或无限维希尔伯特空间中的射线表示。

此外，我们知道，为了获得有用的表示，我们需要确保表示量子态的矢量是单位矢量。

但是在上面的定义中，它们没有精确化与所考虑的希尔伯特空间相关的范数（或标量积）。乍一看，我虽然认为规范并不是很重要，但是昨天我才意识到该规范到处都是欧几里得规范（2-规范）。甚至胸罩符号似乎都是专门针对欧洲人的规范而制定的。

我的问题：为什么到处都使用欧几里得准则？为什么不使用其他规范？欧几里得范数是否具有可以用在其他人不具备的量子力学中的有用特性？

伯恩定律指出，这是在测量后找到处于状态的量子系统的概率。我们需要所有的总和（或整数！）为1：| X ⟩ $|\psi(x)|^2 = P(x)$$|x\rangle$$x$

$$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$$

这些都不是有效的规范，因为它们不是同质的。您只需做平方根就可以使它们同质：

$$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$$

您可能会认为这是欧几里得范数，也是欧几里得范数到一个非离散域的推广。我们还可以使用其他规范：

$$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$$

对于某些正定矩阵/函数A。

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但是，的-norm不会那么有用，因为例如：p > $p$$p>2$

$$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$$

不必是1。

这样，欧几里得范数是特殊的，因为2是伯恩定律的幂，这是量子力学的假设之一。

这里有些术语似乎有些混乱。量子态由长度为1的复矢量表示（在有限维希尔伯特空间内），其中长度由欧几里得范数测量。它们不是单一的，因为单一是矩阵的分类，而不是向量的分类。

量子状态根据某些矩阵改变/演化。给定量子态的长度为1，事实证明有必要并充分地用map矩阵描述纯态到纯态的映射。这些是保留（欧几里得）范数的唯一矩阵。

当然，这是一个有效的问题：“我们可以对我们的量子态使用不同的（）范数吗？” 如果然后对将规范化状态映射到规范化状态的操作进行分类，则它们将受到极大的限制。如果p ≠ 2，则唯一有效的操作是置换矩阵（每个元素具有不同的相位）。物理学会更加无聊。$p$$p\neq 2$

获得这种感觉的一种好方法是尝试绘制2D轴集。在其上绘制与不同范数下长度为1的点的集合相对应的形状。p = 2给您一个圆，p = 1给您一个菱形，p → ∞给一个正方形。您可以执行哪些操作将形状映射到自身？对于圆，它是任何旋转。除此之外，它只是旋转π / 2的倍数。以下来自维基百科：$p$$p=2$$p=1$$p\rightarrow\infty$$\pi/2$

如果您需要更多详细信息，则可能需要查看此处。

$\mathbb{R}^n$$L^p$$p=2$

可以通过询问我们可以建立哪些由向量来描述的理论来得出一个优雅的论点，其中允许的变换是线性映射，概率为由一些规范给出，并且概率必须由那些映射图保留。 → v →L → $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$$\vec v\to L\vec v$

事实证明，基本上只有三种选择：

1. 确定性理论。那么我们就不需要那些向量，因为我们总是处于一种特定的状态，即向量是等，而只是排列。$(0,1,0,0,0)$$L$

2. 古典概率论。 在这里，我们使用范数和随机图。在的概率。v $1$$v_i$

3. 量子力学。在这里，我们使用范数和一元变换。在的幅度。v $2$$v_i$

这些是唯一的可能性。对于其他规范，不存在有趣的转换。

如果您想对此进行更详细，更好的解释，Scott Aaronson的“ Democritus以来的量子计算”将对此进行演讲，并发表一篇论文。

其他答案针对的是为什么要使用哪个空间来使，而不是权重。升$p=2$$L^p$

您可以放入一个Hermitian正定矩阵以便内积为。但这并不能给您带来太多好处。这是因为您可能还需要更改变量。为简便起见，请考虑对角线的情况。与将被解释对角线情况为概率代替。，为什么不直接将变量更改为。您可以将其视为在个点的空间上的函数，其中每个点由加权。$M_{ij}$$\sum x_i^* M_{ij} y_j$$M$$M_{ii} \mid x_i \mid^2$$\mid x_i \mid^2$$M_{ii}>0$$\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$$L^2$$n$$M_{ii}$

对于连续1变量的情况，是的，您也可以使用。只是重新加权长度。那仍然是一个非常好的希尔伯特空间。但是问题在于，将转换应该是对称的，而破坏了它。因此最好不要使用。对于某些目的，不存在对称性，因此您确实有。$L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$$w(x)$$x \to x+a$$w(x)$$w(x)$$w(x) \neq 1$

在某些情况下，不要转换为标准格式很有用。它围绕您如何进行一些计算进行了混编。例如，如果您要进行一些数字运算，则可以通过这种改组来减少错误，从而避免机器发现困难的小数字或大数字。

一个棘手的事情是确保您跟踪何时更改变量以及何时不更改变量。您不想在更改为标准内部乘积进行单一运算和将变量变回与尝试一步一步进行转换之间感到困惑。您可能会错误地丢掉等因素，因此请当心。$\sqrt{M_{ii}}$

上的欧几里得范维空间，定义在这里，是不是用于量子态的唯一标准。$n$

不必在n维希尔伯特空间上定义量子状态，例如，一维谐波振荡器的量子状态是函数其正交性定义为：$\psi_i(x)$

$$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$$

如果我们得到：$i=j$

$$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$$

因为总概率必须为1。
如果，我们得到0，这意味着函数是正交的。$i\ne j$

我在链接中定义的欧几里得范数更多地是针对离散变量的量子态，其中是一些可数。在上述情况下，（可能的值的个数）是不可数的，因此该范数不适合维步伐上的欧几里得范数给出的定义。n x $n$$n$$x$$n$

我们还可以对上述规范应用平方根运算符，并且仍然具有的必需属性，尽管如此，欧几里得范式仍可以视为该规范的特例，对于只能从一定数量的值中选择的情况。之所以在量子力学中使用上述范数，是因为它保证了概率函数积分为1，这是基于概率定义的数学定律。如果您有其他准则可以保证满足所有概率论定律，那么您也可以使用该准则。X P （X $\int P(x)dx=1$$x$$P(x)$