复杂系数的哈密顿模拟

作为变分算法的一部分，我想构造一个量子电路（最好是使用pyQuil），该电路模拟以下形式的哈密顿量：

$H = 0.3 \cdot Z_3Z_4 + 0.12\cdot Z_1Z_3 + [...] + - 11.03 \cdot Z_3 - 10.92 \cdot Z_4 + \mathbf{0.12i \cdot Z_1 Y_5 X_4}$

说到最后一项，问题是pyQuil引发以下错误：

TypeError: PauliTerm coefficient must be real

我开始研究文学，这似乎是一个不平凡的问题。我遇到了有关通用量子哈密顿量的本文，其中讨论了复数到实数编码以及局部编码。但是，我仍然不清楚如何实际实现这样的功能。谁能给我一些解决该问题的实用建议？

传统的哈密顿量是埃尔米特数。因此，如果它包含非Hermitian项，则它也必须包含Hermitian共轭作为另一个项，或者权重为0。在这种特殊情况下，由于为埃尔米特本身，系数必须是0。所以，如果你谈论的是传统的汉密尔顿，你可能在你的计算犯了一个错误。请注意，如果该术语的Hermitian共轭不存在，则不能简单地通过添加它来解决问题。它会给您完全不同的结果。$Z\otimes X\otimes Y$

另一方面，您可能想要实现非埃尔米特哈密​​顿量。这些东西确实存在，通常是为了描述噪声过程，但并没有那么广泛。您需要明确地包含“非Hermitian”术语，否则每个人都只会认为您在做什么是错误的，因为它不是Hermitian，而Hamiltonian应该是Hermitian。我对各种模拟器提供的功能不是很熟悉，但是如果它们内置了非Hermiticity，我会感到惊讶。

但是，您可以以不确定的实现为代价来对其进行仿真。将会有比这更复杂的方法（请参阅此答案中的链接），但是让我描述一个特别简单的方法：我将假设只有一个非赫米特分量，即（Paulis的张量积）。 ）。我将其称为Paulis K的张量积。哈密顿的其余部分是^ h。您想创建演化 e − i H t + K t 我们首先对演化进行小跑， e − i H t + K t = $i\times$$K$$H$

$$e^{-iHt+Kt}$$ 其中Ñδ吨=吨。现在，我们对模拟个体术语工作ë-我ħδ吨+ķδ吨≈ë-我ħδ吨Ëķδ吨（它成为在大更准确Ñ）。你已经知道如何应对埃尔米特一部分，所以，重点ēķδ牛逼 $$e^{-iHt+Kt}= \prod_{i=1}^Ne^{-iH\delta t+K\delta t}$$ $N\delta t=t$$e^{-iH\delta t+K\delta t}\approx e^{-iH\delta t}e^{K\delta t}$$N$ $$e^{K\delta t}=\cosh(\delta t)\mathbb{I}+\sinh(\delta t)K.$$

$|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$K$$\{|\psi\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$$\langle\psi|\psi^\perp\rangle=0$$|\psi\rangle$$|\alpha|^2\mathbb{I}+|\beta|^2K$$(1-|\alpha|^2)/|\alpha|^2=\tanh(\delta t)$

$i0.12Z_1Y_2X_3$

z=[1 0 ; 0 -1];
x=[0 1;  1  0];
y=[0 -1i; 1i 0];

z1 = kron(z,eye(4));
y2 = kron(kron(eye(2),y),eye(2));
x3 = kron(eye(4),x);

H=0.12*1i*z1*y2*x3

输出为H：

    0     0    0 0.12    0    0     0     0
    0     0 0.12    0    0    0     0     0
    0 -0.12    0    0    0    0     0     0
-0.12     0    0    0    0    0     0     0
    0     0    0    0    0    0     0 -0.12
    0     0    0    0    0    0 -0.12     0
    0     0    0    0    0 0.12     0     0
    0     0    0    0 0.12    0     0     0

因为它是一个实矩阵，所以埃尔米特表示对称，但这不是对称的，因此不是埃尔米特。右上三角形不等于右下三角形。

但是，右上角三角形是右下角三角形的负数，因此它是反赫米特形的。

因此，按照AHussain的建议添加共轭转置，结果为0。只需运行以下命令：

H + H'

您将获得一个0的8x8矩阵。

因此，当您通过添加共轭转置来制作哈密顿量时，该项的值为0，因此不需要任何虚系数。