上帝数字的量子算法

这个概念源自对解决魔方拼图的方法的讨论，但是也可以应用于其他组合拼图和数学游戏。它指的是产生具有最少可能动作的解决方案的任何算法，其思想是无所不知的人将从任何给定的配置中知道最佳步骤。

计算神的数字为20，需要“ 35个CPU年的空闲（经典）计算机时间”。

量子方法可以实现哪种加速？

— 喵喵
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组合拼图的“上帝数”与类Cayley图的直径有关，即该图中最大的最小路径。我认为的谜题的广义问题不是。我还没有研究过这篇论文-arxiv.org/abs/quant-ph/0303131- 但我认为它声称比传统的格罗弗提速。

n \times n \times n

$n\times n \times n$

N P

$\mathsf{NP}$

— 马克S

@mark s chat.stackexchange.com/rooms/81283/quantum

— meowzz

对于任何难以计算的问题，您都可以提出这样的问题。这似乎不是很有建设性的。您为什么会认为量子算法可能对这个特定问题感兴趣？

— 诺伯特·舒奇

@Norbert Schuch我求立方并进行量子计算。对我来说，这是一个非常有趣的问题（对其他对量子组合优化感兴趣的人，我也会考虑）。

— meowzz

另请参见mathotherflow.net/questions/77836/…。

— 马克S

我们可以想到Rubik立方体Cayley图其中每个（彩色）边都是Singmaster移动之一，每个顶点是4立方体的之一。 $\Gamma=(V,E)$ $E$ $\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$ $V$ $43252003274489856000\approx 4.3e{19}$ $3\times 3\times 3$

图的直径是图中最长的最短路径。确定直径的经典算法是多项式。参见，例如，一个姐妹网站的答案。 $\vert V \vert$

如上所述，上帝的数字就是这个直径。要知道组中Cayley图的顶点之间的最长最短路径，只要知道距已求解状态有几步即可。我们知道，感谢Rokicki，Kociemba，Davidson和Dethridge等人，上帝的人数是。他们执行的算法是多项式，例如多项式。 $20$ $\vert V\vert$ $4.3e{19}$

评论中提到的Heiligman的图直径量子算法实现了比Djikstra算法更快的Grover加速，“总量子成本为。但是，我相信Heiligman会像经典算法那样对图形进行编码。例如量子位。显然，如果则无济于事。 $O(|V|^{9/4})$ $O(|V|)$ $|V|=4.3e{19}$

相反，如其他问题所述，另一种编码Rubik立方体的方法当然是在所有状态上准备统一的叠加。这仅需要量子位。 $4.3e{19}$ $\log 4.3e{19}$

量子算法擅长谈论“特征值”，“特征向量”和“特征状态”。将Singmaster的所有动作应用到所有状态的统一叠加不会改变状态。即均匀叠加是Cayley图上Markov链的本征态。 $4.3e{19}$

图的直径和对应的邻接关系/拉普拉斯矩阵的特征值/特征向量之间存在关系，尤其是光谱间隙，两个最大特征值之间的距离（）。快速的Google搜索“直径特征值”将产生此结果；我建议您探索类似的Google搜索。 $\lambda_1-\lambda_2$

光谱间隙正是限制绝热算法的原因。因此，也许可以通过了解绝热算法从鲁棒立方组的各个子组/子空间从均匀叠加到求解状态的运行速度，可以估算出谱隙，并以此来限制上帝的数。但是我很快就离开了我的联盟，我怀疑是否可以实现准确性。

— 分数
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首先，谢谢您的出色回答。我非常有兴趣了解有关光谱间隙和非绝热过程的更多信息。您了解亚三次图吗？另外，您是否了解超现实数字（特别是差距）？另外，您对2x2的情况有任何想法吗？还是nxn大小写（对于）？

3 < n

$3<n$

— meowzz '18

@meowzz，不客气。对不起，我对超现实数字或三次立方图一无所知。上面的Cayley图不是三次方的，我的化合价为（面孔，每张面孔四分之一，一半或四分之三的移动）。关于乘情况，同样的想法适用于...测量绝热算法发展到已求解状态所需的时间，使用和之间的关系来限定光谱间隙，并限定直径与和之间的关系...

18

$18$

6

$6$

n \times n

$n\times n$

τ_{n}

$\tau_n$

τ_{n}

$\tau_n$

λ_{2}

$\lambda_2$

δ

$\delta$

λ_{2}

$\lambda_2$

δ

$\delta$

— Mark S

在阅读答案时，尚不完全清楚“用量子方法可以实现哪种加速？”。

— JanVdA

@JanVdA感谢您的评论。我从未声称知道这个大胆问题的答案的所有细节。我只是试图就可能值得进一步探索的方法提供一些反馈，并且还轻描淡写地回答问题中的另一条评论。另外，有人非常欢迎我提出类似的问题。

— 马克S