量子门转换后，每个状态的概率如何变化？

15

量子门由矩阵表示，矩阵表示应用于量子位（状态）的转换。

假设我们有一个以量子位为单位的量子门。 $2$

量子门如何影响（不一定改变量子门）量子位状态的测量结果（因为测量结果受每种可能状态的概率影响很大）？更具体地，是否可以预先知道每个状态的概率如何由于量子门而改变？

quantum-gate quantum-state

— ItamarG3
source

7

情况一：两个量子比特没有纠缠。

您可以将两个量子位的状态（例如和）写为和其中。 $\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ $|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$ $|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$ $a,b,c,d\in\Bbb{C}$

各个量子位驻留在二维复矢量空间（在字段上）。但是系统的状态是一个矢量（或点），它位于一个多维复矢量空间（在字段中）。 $\Bbb{C}^2$ $\Bbb{C}$ $\Bbb{C}^4$ $\Bbb {C}$

系统状态可以写成张量积 $|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$ 即 $ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ 。

自然，因为状态向量必须归一化。关于基态幅度平方的平方给出以相应基数进行测量时该基态发生的可能性的原因在于量子力学的伯恩定律（一些物理学家认为这是量子力学的基本假设）。现在，当测量第一个量子位时发生概率是。类似地，在测量第一个量子位时发生概率为。 $|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$ $|0\rangle$ $|ac|^2+|ad|^2$ $|1\rangle$ $|bc|^2+|bd|^2$

现在，如果我们在不对系统的先前状态进行任何测量的情况下应用量子门，会发生什么？量子门是单一门。它们的作用可以写为an运算符对系统初始状态的作用，即以产生新状态（其中）。由于施加的门是单一的，所以这个新的状态向量的大小再次等于。当测量第一个量子位时，出现的概率为 $U$ $ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ $A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$ $A,B,C,D\in\Bbb{C}$ $|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$ $1$ $|0\rangle$ $|A|^2+|B|^2$ 并且类似地，您可以在出现找到它。 $|1\rangle$

但是，如果我们确实进行了测量，那么在单一门作用之前，结果会有所不同。例如，您测量了第一个量子位，结果发现它处于状态，则系统的中间状态将折叠为（根据哥本哈根的解释）。因此，您可以理解，在此状态上应用相同的量子门将产生不同的最终结果。 $|0\rangle$ $\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

情况二：两个量子位纠缠在一起。

如果系统状态为，则不能将其表示为两个单独量子位的状态的张量积（尝试！）。还有更多这样的例子。据说在这种情况下量子位纠缠了。 $\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

无论如何，基本逻辑仍然保持不变。当测量第一个量子位时，发生的概率是而发生概率是太。同样，您可以找到测量第二个量子位的概率。 $|0\rangle$ $|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$ $|1\rangle$ $\frac{1}{2}$

再次，如果在此状态上应用单一量子门，则最终会像以前一样以结束。我希望您现在可以自己测量第一个和第二个量子位时发现不同可能性的可能性。 $A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$

注意：通常情况下，2-量子位系统正的基础状态被视为四个像列向量，等，通过将四个基向量映射到的标准基。并且，the变换可以写为满足属性矩阵。 $|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$ $4\times 1$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\Bbb{R}^4$ $U$ $4\times 4$ $UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$

— Sanchayan Dutta
source

4

对的，这是可能的。的量子门被设计成使得给定的输入状态被转换为明确定义的输出状态与可计算概率。从量子力学的意义上讲，该变换不构成度量，这意味着我们可以在量子门的输出中具有纠缠态，并将这些态用于进一步的计算。

还要注意，输入状态在通过量子门转换后不再可访问。如果您想让它们回来，则必须应用反向门。

— jk-恢复莫妮卡
source

2

我认为使用一些基本数学方法会更好，但是如果不启用mathjax则很难。

— DanielSank

@DanielSank现在已启用

— Gabriel

“量子力学”到底是什么意思？

— nbro

4

量子门如何影响（不一定改变它）量子位状态的测量结果（因为测量结果受到每种可能状态的概率的极大影响）？更具体地，是否可以预先知道每个状态的概率由于量子门而如何变化？

让我们尝试通过一个示例和一些几何图形来解决这个问题。考虑一个单一的量子比特，其希尔伯特空间为，即，在二维复Hilbert空间（对于更多的技术人员，希尔伯特空间实际上是）。事实证明，，单位球面，也被称为布洛赫球面。这转化为一个事实，即量子位的所有状态都可以在布洛赫球上表示（唯一）。 $\mathbb{C}^2$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}P^1$ $\mathbb{C}P^1 \cong S^2$

资料来源：维基百科

量子位的状态可以在Bloch球面上表示为，其中和。这里，和是两个基本状态（图中的北极和南极分别表示）。因此，量子位的状态不过是列向量，列向量是用球上的（唯一）点标识的。 $|\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle$ $0 \leq \theta \leq \pi$ $0 \leq \phi < 2 \pi$ $|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ $|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$

什么是量子门？这些是酉算， ST，。单量子位上的门是元素。考虑一个简单的门等（其代表泡利矩阵）。 $U$ $U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$ $SU(2)$ $Y$ $\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

该门如何作用于量子位并影响测量结果？

假设您以该州的qubit开始，即在对布洛赫球面北极。在应用的单一形式的其中。使用保利矩阵的特性，我们得到。这个操作符的作用是通过一个角度旋转的状态 $|0\rangle$ $U = e^{-i \gamma Y}$ $\gamma \in \mathbb{R}$ $U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$ $2 \gamma$ 沿y轴，因此，如果我们选择，则量子位。就是说，鉴于我们知道要对状态应用什么单位，我们完全知道初始状态的转换方式，因此我们知道测量概率将如何变化。 $\gamma = \pi/2$ $|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$

例如，如果我们要在基础，最初，人们会得到国家以概率1; 应用ary之后，将得到状态的概率是1。 $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

— keisuke.akira
source

3

如您所说，测量的概率是从状态获得的。门在各个状态下统一运行。考虑POVM元件，状态和栅极。然后用于与相关联的结果的概率是，和概率后栅极是。 $\Pi$ $\rho$ $U$ $\Pi$ $p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$ $p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$

我只想强调，不可能仅从登机口之前的概率知道登机口之后结果的概率。您需要考虑概率振幅（量子态）！

让我再说一遍：您正在谈论两个量子位，因此门之后的状态可能会纠缠在一起。在这种情况下，在联合概率分布将不计入两个边际分布的意义上，不可能为所有度量的每个量子位都具有“个体”概率分布。

— 斯特恩
source