如何从基本门构造一个多量子位受控Z？

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为了实现某种量子算法，我需要从一组基本门中构造一个多量子位（在本例中为三量子位）受控Z门，如下图所示。。

我可以使用的门是

保利城门 $\rm X, Y, Z$ 以及它们的所有力量（即所有Pauli旋转直至相位系数），
${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ （关于 $|11\rangle\langle11|$ 投影仪），
$\rm H$ （哈达玛），
$\rm C_X$ （单量子位受控X或CNOT），
$\rm C_Z$ （单量子位受控Z），以及
$\rm S$ （交换）。

我该如何从这些门构建这个三比特控制的Z？我已经阅读了几篇有关电路分解的论文，但没有一篇能给我一个清晰简洁的答案。

quantum-gate gate-synthesis

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen
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您的第四个寄存器应该有Z而不是黑圈吗？

— user1271772

1

@ user1271772都可以。由于受控Z门在使用的量子位中是对称的（即，一个人可以交换两个量子位，并且门的效果将保持不变），因此在最近的文献中，无序表示法（如带有黑点的表示法）被认为更合适。

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen'Aug

5

（编辑：改进为14 CNOT。）

可以用14个CNOT，加上15个单量子位Z旋转和无辅助量子位来完成。

对应的电路是

在哪里 $\fbox{$\pm$}$ 门是旋转

R_{z} (\pm π / 16) \propto (\begin{matrix} 1 \\ e^{\pm i π / 8} \end{matrix})

$R_z(\pm\pi/16)\propto \left(\begin{matrix}1\\&e^{\pm i\pi/8} \end{matrix}\right)$

派生：

使用https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ^1中描述的过程，可以根据CNOT和一比特对角门来分解任何对角门-因此尤其是CCCZ门。可以按照经典的优化程序自行优化CNOT。

该参考文献提供了一个电路，该电路使用16个CNOT用于任意对角4量子位门（图4）。

如果可以将任意对量子位耦合到14个量子位，则可以改善这一点。对于具有周期性（开放）边界条件的最近邻居，可以使用16（18）个CNOT来完成。相应的电路可以在https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹（图5.2、5.4和5.5）中找到，并且可以例如使用构建短Gray序列的方法获得。

一量子位门的数量始终为15。

备注：虽然原则上可能会存在一个更简单的电路（上述电路已在考虑到更受限的电路架构的情况下进行了优化），但它应该接近最佳状态-电路需要创建形式的所有状态 $\bigoplus_{i\in I}x_i$ 对于任何非平凡的子集 $I\subset\{1,2,3,4\}$ ，其中有15个为4量子位。

还要注意，这种结构绝不是最佳的。

^{1注意：我是作者}

— 诺伯特·舒赫
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使用Rx（或Ry）门而不是Rz门是否会使它成为多量子位受控X（或受控Y）门？

— Sierox

@Sierox您只需要对底部量子位上的所有内容进行Hadamard变换，即相应的CNOT将变为CZ，而底部量子位上的旋转将变为X旋转。

— Norbert Schuch

6

您可以实施 $n$ -qubit控制 $U$ 通过这个答案中给出的电路。只需更换 $U$ 通过 $Z$ 。但是，这需要CCNOT（Toffoli）门，并且对于如何使用基本门实现CCNOT，您有一些选择。

— 用户名
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2

这样会使电路深度过大。也许OP希望采用该门电路来使电路更浅。可以执行一种自动程序来适度减小电路尺寸。

— AHusain

@AHusain：什么是自动程序？

— user1271772

2

它使用自动分组理论的结果，所以这是一个双关语。解释将在其他地方进行；简短的评论。

— AHusain '18

好的@AHusain，我要问一个适合您的问题！

— user1271772

5

这是使用29个闸门的CCCZ结构：

如果允许使用测量和经典前馈，则门数可以减少到25：

（如果需要满足门设置约束，可以用Y的平方根替换Hadamard门。）

如果您允许我执行Controled-S门和Controlled-sqrt（X）门并执行X基测量，那么我可以将其降低到总共10门：

— 克雷格·吉德尼
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但是最后使用的是测量+条件控制的门。我会说这超出了游戏的“正常”规则。（例如，如果将其替换为受控门并推迟测量，则仍将使用Toffoli。）

— Norbert Schuch，

1

@NorbertSchuch这就是为什么我在第二张图的开头加上“如果允许使用测量和经典前馈”的原因。注意，第一个图不使用那些东西。

— Craig Gidney '18

UPS。抱歉。Mea culpa。我不应该只看图片就滚动一下：-|

— Norbert Schuch

在第一电路的末尾，第五个量子比特被丢弃。如果我顺序需要多个CCCZ，我将如何处理该量子位？

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

您可以将其送入下一个CCCZ，但将前两个操作放在第二个CCCZ的电路中。这些操作正在将其准备为T状态，这就是被丢弃的qubit的最终状态。因此，第二个CCCZ将减少2次操作。

— Craig Gidney '18

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我在这里发布了CCCZ的另一个分解，以防万一它对尝试编译CCCZ的其他人有用。它需要的总门数较少，并且仅需要1个辅助qubit而不是2个，但是比“显而易见”的答案多五个5个2 qubit的门，因此对于在硬件上实现可能实际上更糟。

@Rob用户在此评论中建议：量子电路的自动编译，来自本文。

GMS5 $(\chi)$ 门是这样的：

与 $n=5$ 和所有 $\chi_{ij}=\chi$ ，这意味着它涉及10个2量子比特的门。然后必须将它们编译到问题中给定的门集中，因此仅当您尝试节省辅助量子位的数量或不介意拥有更多2量子位门时，才应使用此分解。减小电路深度。

— 用户名
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1

GMS5门是一个相当全局的门-很难将其与常规门数进行比较。而且即使在可以实施此门的情况下，您也很可能无法选择

χ_{i j}

$\chi_{ij}$ 。为什么不仅仅采用CCCZ门的对数？

— 诺伯特·舒奇18'Aug

@NorbertSchuch：这个问题要求CCCZ而不是log（CCCZ）。如果我们要进行log（CCCZ），您可能会建议这样做，因为GMS5是基本门的指数，并且它的对数可能更易于实现，所以很容易从log（）的答案中获得CCCZ的输出。 CCCZ）？

— user1271772

我不知道你在说什么。产品或Paulis的总和不容易实现。他们甚至都不是单一的。---但是of的对数是哈密顿量，因此，如果您可以通过一些智能的实验设置来随log（CCCZ）进行时间演化，则此计数中的CCCZ将带有“一个门”。

— Norbert Schuch

2

@NorbertSchuch：您的评论“ exp（-iHt）几乎绝热”在语义上是无效的，没有任何意义。您为什么问我“为什么不仅仅取CCCZ门的对数？” ？

— user1271772

1

@ user1271772只是增加了（我相信）诺伯特在评论中所说的：在arxiv.org/中研究了试图找到与时间无关的哈密顿人直接产生非平凡门（在本文中考虑了CCX和其他门）的问题。abs / 1803.07119。在这种情况下的问题是找到仅包含可行相互作用且仍生成目标门的哈密顿量。因此，资源成为允许使用汉密尔顿互动的方式，而不是允许使用基本门的方式

— glS

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根据指定的门设置，可以节省一些费用。例如，在典型的ccnot构造中，如果您替换 $T$ 与门 $Z^{1/4}$ ，则不需要构成两个控制量子位之间最后几个门的相位校正。该结构遵循问题中指定的门集，由21个门组成，其中10个为2量子位（您不需要下面电路中的最后一个门）。

要明确（针对一些评论）：通常我们看一下Toffoli，并尝试使用 $T$ 门。如果两个控件都 $|1\rangle$ ，则目标量子位上的门序列为 $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$ 。现在，因为 $XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$ ，则序列简化为 $-iHT^4H=-iX$ ，并且必须在两个控制量子位上添加一个补偿受控S门。相反，如果我们使用 $Z^{1/4}$ ，然后 $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$ ，并且没有任何令人讨厌的阶段进入，它为您节省了两个量子比特的门！

另外，请注意，两个Toffoli门只是Toffoli，因为它们的目标是0状态。通常，您将需要一个额外的两个量子比特的门。

在现有文献中，我没有发现有效的结构，尽管本文声称仅使用11个2量子位门，但是一旦将其转换为问题的受限门集，我还没有完成完整的门计数。

— 达夫·沃利
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感觉像您不是在算计……。在赛道的下半部分-但我对此并不感到很难；）

— Norbert Schuch

除了对其进行无关的单个qubit旋转外，我未计算该辅助函数。那是最后的托菲利所做的。我想Toffoli应该以逗号分隔，因为最后缺少1个门。

— DaftWullie

您确定第一个街区是Toffoli吗？还是只是Ancilla上的Toffoli？（我记得对Toffoli最好的选择是大约8个CNOT）。

— Norbert Schuch

我认为您在中间块的前两个qubit中缺少CS相位校正。您应该能够从每个侧边栏拖放最左边的CZ。

— Craig Gidney '18

我星期二会仔细检查。我认为这种表述避免了cS。

— DaftWullie

2

尽管我的另一种答案是最明显的“教科书”方式（使用Nielsen＆Chaung的CCCZ分解为CCNOT，然后再进行另一本教科书分解以编译CCNOT），但更具创造性的方式可能使我们能够以更少的门完成这项工作。

步骤1：

用以下小工具替换Nielsen＆Chuang电路中的所有CNOT：

第2步：

现在我们有了一堆CCZ而不是CCNOT，它们可以像这样分解（本文提供）：

第三步：

注意 $H^2 = I$ ，所以其中一些Hadamard彼此抵消，我们得到的折扣甚至更多:)

— 用户名
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门数是多少？

— 诺伯特·舒奇