自动编译量子电路

这里有一个最近的问题，询问如何将4量子位门CCCZ（受控-受控-受控Z）编译为简单的1量子位和2量子位门，到目前为止给出的唯一答案需要63个门！

第一步是使用Nielsen＆Chuang提供的C U构造：$^n$

在这意味着4个CCNOT门和3个简单门（1个CNOT和2个Hadamards足以对目标量子位和最后一个工作量子位进行最终CZ）。$n=3$

本文的定理1表示，一般而言，CCNOT需要9个1量子位和6个2量子位门（总共15个）：

这表示：

（4个CCNOT）x（每个CCNOT 15个门）+（1个CNOT）+（2个Hadamards）= 63个门。

在评论中，已经建议可以使用“自动程序”进一步编译63个门，例如根据自动组的理论。

如何进行这种“自动编译”？在这种情况下，它将减少多少个1量子位和2量子位门？

令为允许使用的基本门。为此，和等被视为分开的。因此，是多项式依赖于的位数。精确的依赖关系涉及您使用的各种门以及它们在局部的详细信息。例如，如果有单量子位门和 2量子位门不依赖于像这样的顺序，则。$g_1 \cdots g_M$$\operatorname{CNOT}_{12}$$\operatorname{CNOT}_{13}$$M$$n$$k$$x$$y$$CZ$$M = xn+\binom{n}{2}y$

这样一来，电路就是这些生成器按某种顺序排列的产物。但是有多个电路什么也不做。像。因此，这些人给小组带来了关系。那是一个小组演示，其中有许多我们不知道的关系。$\operatorname{CNOT}_{12} \operatorname{CNOT}_{12} = \mathrm{Id}$ $\langle g_1 \cdots g_M \mid R_1 \cdots \rangle$

我们希望解决的问题是在该组中给一个单词，代表相同元素的最短单词是什么。对于一般的小组演讲，这是没有希望的。可以解决此问题的小组介绍称为自动。

但是我们可以考虑一个更简单的问题。如果我们抛弃某些，则from之前的单词将变成，其中每个仅是其余字母中的单词。如果我们使用不涉及的关系设法使它们更短，那么我们将使整个电路更短。这类似于在另一个答案中自行优化CNOT。$g_i$$w_1 g_{i_1} w_2 g_{i_2} \cdots w_k$$w_i$$g_i$

例如，如果有三个生成器，并且单词是，但我们不想处理，我们将和缩短为和。然后，我们将它们重新组合为，这是原始单词的缩写。$aababbacbbaba$$c$$w_1=aababba$$w_2=bbaba$$\hat{w}_1$$\hat{w}_2$$\hat{w}_1 c \hat{w}_2$

因此，WLOG（不失一般性），让我们假设已经在这个问题中，现在我们使用所有指定的门。同样，这可能不是自动组。但是，如果我们丢掉一些关系怎么办。然后，我们将有另一个小组，其商数映射到我们真正想要的商数映射。$\langle g_1 \cdots g_M \mid R_1 \cdots \rangle$

组 no Relationships是一个自由组，但是如果将作为一个关系，您将获得免费产品并且存在从前者到后者的商映射，以减少模中每个段中的数量。$\langle g_1 g_2 \mid - \rangle$$g_1^2=\mathrm{id}$ $\mathbb{Z}_2 \star \mathbb{Z}$$g_1$$2$

我们抛出的关系将是这样的，楼上的那个（商图的来源）将通过设计自动实现。如果仅使用保留的关系并缩短单词，那么对于商组来说，它仍然是一个较短的单词。对于商组（商映射的目标）而言，它并不是最佳选择，但其长度等于开始时的长度。$\leq$

那是一般的想法，我们如何将其转换为特定的算法？

我们如何选择要抛出的和关系以获得自动组？这是我们通常使用的基本门的知识的来源。有很多内卷，因此仅保留这些内卷。请注意以下事实，即这些仅仅是基本的对位运算，因此，如果您的硬件很难交换芯片上相距遥远的qubit，则只能将它们写入您可以轻松完成的工作并将其减少为越短越好。$g_i$

例如，假设您具有IBM配置。那么是允许的门。如果要进行一般置换，请将其分解为因子。这是组中的一个词，我们希望缩短。$s_{01},s_{02},s_{12},s_{23},s_{24},s_{34}$$s_{i,i+1}$$\langle s_{01},s_{02},s_{12},s_{23},s_{24},s_{34} \mid R_1 \cdots \rangle$

请注意，这些不一定是标准的对合。例如，除了外，还可以放入。想一想Gottesman-Knill定理，但以抽象的方式意味着它更容易推广。例如使用在短的精确序列下的属性，如果您在两侧都有有限的完整重写系统，那么对于中间组，您将获得一个。对于其余的答案，该注释是不必要的，但是它说明了如何从该答案的示例中构建更大，更通用的示例。$R(\theta) X R(\theta)^{-1}$$X$

保留的关系仅是。这将创建一个Coxeter组，并且它是自动的。实际上，我们甚至不必从头开始为这种自动结构编写算法。一般已经在Sage（基于Python）中实现了它。您所要做的就是指定并且剩下的实现已经完成。您可能还需要进行一些加速。$(g_i g_j)^{m_{ij}} = 1$$m_{ij}$

$m_{ij}$由于门的局部性，真的很容易计算。如果门最多为局部，则可以在维希尔伯特空间上完成的计算。这是因为如果索引不重叠，则您知道。当和下班时，。您还只需要计算少于一半的条目。这是因为矩阵是对称的，对角线上有（）。同样，大多数条目只是重命名所涉及的量子位，因此，如果您知道$k$$m_{ij}$$2^{2k-1}$$m_{ij}=2$$m_{ij}=2$$g_i$$g_j$$m_{ij}$$1$$(g_i g_i)^1 = 1$$(\operatorname{CNOT}_{12} H_1)$，您知道的顺序，而无需再次进行计算。$\operatorname{CNOT}_{37} H_3$

这样可以处理所有最多只涉及两个不同门的关系（证明：锻炼）。涉及或更多关系的关系都被抛出了。现在，我们将它们放回去。假设我们已经有了，然后可以使用新的关系执行Dehn的贪婪算法。如果有更改，我们将其重新敲响，再次遍历Coxeter小组。重复此操作直到没有更改。$3$

每当单词变短或保持相同的长度时，我们仅使用具有线性或二次行为的算法。这是一个相当便宜的过程，因此最好这样做，并确保您没有做任何愚蠢的事情。

如果您想自己进行测试，则将生成器的数量设置为，将要尝试的随机单词的长度设置为，将Coxeter矩阵设置为。$N$$K$$m$

edge_list=[]
for i1 in range(N):
    for j1 in range(i):
        edge_list.append((j1+1,i1+1,m[i1,j1]))
G3 = Graph(edge_list)
W3 = CoxeterGroup(G3)
s3 = W3.simple_reflections()
word=[choice(list([1,..,N])) for k in range(K)]
print(word)
wTesting=s3[word[0]]
for o in word[1:]:
    wTesting=wTesting*s3[o]
word=wTesting.coset_representative([]).reduced_word()
print(word)

与N=28和的示例K=20，前两行是输入的未精简词，后两行是精简词。我希望输入矩阵时不要打错字。$m$

[26, 10, 13, 16, 15, 16, 20, 22, 21, 25, 11, 22, 25, 13, 8, 20, 19, 19, 14, 28]

['CNOT_23', 'Y_1', 'Y_4', 'Z_2', 'Z_1', 'Z_2', 'H_1', 'H_3', 'H_2', 'CNOT_12', 'Y_2', 'H_3', 'CNOT_12', 'Y_4', 'X_4', 'H_1', 'Z_5', 'Z_5', 'Y_5', 'CNOT_45']

[14, 8, 28, 26, 21, 10, 15, 20, 25, 11, 25, 20]

['Y_5', 'X_4', 'CNOT_45', 'CNOT_23', 'H_2', 'Y_1', 'Z_1', 'H_1', 'CNOT_12', 'Y_2', 'CNOT_12', 'H_1']

放回类似生成器，我们只放回类似的关系，并且与不涉及qubit门进行交换。这使我们能够分解从面前的尽可能长的时间。我们想避免。（在Cliff + T中，人们通常试图使T数最小化）。对于这一部分，显示依赖性的有向无环图至关重要。这是找到DAG的良好拓扑类型的问题。当一个人可以选择接下来要使用的顶点时，可以通过更改优先级来实现。（我不会浪费时间优化这一部分。）$T_i$$T_i^n = 1$$T_i$$i$$w_1 g_{i_1} w_2 g_{i_2} \cdots w_k$$w_i$$X_1 T_2 X_1 T_2 X_1 T_2 X_1$

如果单词已经接近最佳长度，则无需执行太多操作，此过程将无济于事。但由于其发现的最基本的例子是，如果您有多个单位，你忘了有一个在一个结束和在下次的开始，这将摆脱对。这意味着您可以放心地将常用例程放在黑匣子中，当您将它们放在一起时，那些明显的取消都将得到解决。它所做的其他事情并不那么明显。那些在。$H_i$$H_i$$m_{ij} \neq 1,2$

使用https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ^1中描述的程序，可以根据CNOT和一比特对角门来分解任何对角门-特别是CCCZ门。可以按照经典的优化程序自行优化CNOT。

该参考文献提供了一个电路，该电路使用16个CNOT用于任意对角4量子位门（图4）。

备注：虽然原则上可以有一个更简单的电路（在考虑到更严格的电路架构的基础上对上述电路进行了优化），但它应该接近最佳状态-电路需要创建对于任何非平凡的子集，其中有15个用于4个量子位。$\bigoplus_{i\in I}x_i$$I\subset\{1,2,3,4\}$

还要注意，这种构造绝不是最佳的。

^{1注意：我是作者}