Clifford电路的稳定器表的倒数是否有简单的规则？

在Aaronson和Gottesman 的“稳定器电路的改进仿真”中，解释了如何计算一个表，该表描述了当Clifford电路作用于每个Pauli张量积时，每个量子位的X和Z可观察到的映射到哪个Pauli张量。

这里以Clifford电路为例：

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

下表描述了它如何作用于每个量子位的X和Z可观察值：

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

该表的每一列描述了电路如何作用于每个量子位的X可观察到的（列的左半）和Z可观察到的（列的右半）。例如，第3列的左侧是Z，Z，_，X，这意味着电路右侧的X3操作（量子位3上的Pauli X）等效于左侧的Z1 * Z2 * X4操作电路的一侧。“符号”行指示产品的符号，如果您要模拟测量，则该符号非常重要（它告诉您是否反转结果）。

您还可以计算电路逆表。在我给出的示例案例中，逆表是这样的：

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

如果转置它们的行和列，则表看起来几乎相同。但是条目并不完全相同。除转置外，还必须将字母编码为位（_= 00，X= 01，Z= 10，Y= 11），然后交换中间位然后进行解码。例如，ZZ编码为1010，然后交换为1100，后者为解码为Y_。

我的问题是：计算逆表符号是否也有简单的规则？

目前，我正在通过将这些表分解为电路，反转电路然后将它们相乘在一起来反转这些表。与transpose + replace相比，它效率极低，但是如果我要使用transpose + replace，则需要一个符号规则。

pauli-gates clifford-group

— 克雷格·吉德尼
source

为了澄清这个问题：让克利福德赛道成为

U

$U$ 。然后阅读

j

$j$ 'th列给出

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$ 和

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$ 取决于使用的左半部分或右半部分。而你想要

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$ 和

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$ 而是根据这些数据。

— AHusain

@AHusain正确。

— Craig Gidney

为了澄清这个问题：@在您的Clifford赛道中是什么意思？

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez这些是控件。当两个连接时，它是CZ门。@连接到X的是受控X。@连接到Y是受控Y。

— Craig Gidney

Answers:

Aaronson（和Gottesman）的画面表示形式有非常密切的关系，它不仅适用于量子位，而且适用于任意有限维的qudits，这对于纯Clifford电路（即最多一个终端测量）特别有效。

在这种替代表示中，有一些表格描述了单量子位X和Z运算符如何像通常表示中那样，通过相位信息进行变换。这些列专门描述了多量子位Weyl运算符，它是Pauli运算符的特殊子集。这样做的优点是，表格不仅是系数的数组，而且是表示Weyl算子和相位的向量上的实际线性算子。

有一个小问题。对于qubit，这些向量的系数是模4的整数（对应于Weyl运算符对非平凡的单qubit Pauli运算符的双重覆盖），而不是模2。我认为这是一个很小的代价，尽管我可能会略有偏差，因为这是我自己的结果[ arXiv：1102.3354 ]。但是，这似乎确实是“自然发生的”表示形式：Appleby较早开发了单qubit或qudit特例[ arXiv：quant-ph / 0412001 ]（我花了两年才真正想知道的东西）不必要地重新创建基本相同的约定）。

使用这样的表示，因为“ tableau” $M_C$ 克利福德赛道 $C$ 现在是转换向量的实际矩阵（和可逆矩阵），逆电路的表格 $C^{\dagger}$ 然后是逆 $M_C^{-1}$ 画面。因此，至少对于这种密切相关的表示，计算逆电路的表格的规则很容易。

— 尼尔·德·波德拉普（Niel de Beaudrap）
source

您可以链接到描述Weyl运算符的幻灯片或讲义吗？

— Craig Gidney

跟踪乘积矢量时，这是否与用“四元数基础” {I，iX，iY，iZ}替换“ Pauli基础” {I，X，Y，Z}有任何关系？

— Craig Gidney

大概是在谈论量子比特时，原始论文就是这一篇

— DaftWullie

我将尝试找到一些有关Weyl运算符的好幻灯片（我本人没有足够的知识）。在n量子位的情况下，它们是运算符

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$ 两个向量

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$ 。该定义的动机总结在p上。在我的链接文章的第2章中，引出引理4。这使人可以仅使用加法mod 4（在进行Clifford电路时使用线性代数mod 4）推理稳定子群，并将二次填充mod 2包含在各相中。

— Niel de Beaudrap

@DaftWullie：否，[arXiv：quant-ph / 9608006 ]完全不同。他们通过mod 2向量来索引X和Z的幂（请参见等式2之前的文本），这反映在GF（4）的加性组结构中。因此，他们关于p.8上辛变换的观察结果适用于Pauli群模相位。我和Appleby并没有声称自己是第一个在Pauli小组上使用奇比特表示形式的人：关键是我们的表示形式更加优雅地跟踪了相位。这对于发现QECC不太重要，但对模拟状态至关重要。

— Niel de Beaudrap

为了更明确地介绍Aaronson和Gottesman的技术，您可以将每个稳定器设置为一定长度的字符串 $2N$ （对于 $N$ 量子位）。首先 $N$ 位指定Z运算符的位置，第二组 $N$ 指定位置 $X$ 操作员（所以， $X_1Z_2$ 对于 $N=2$ 是0110）。对于四个量子位的电路，由Clifford电路（某些相位）引起的变换将由下式给出： $8\times 8$ 矩阵。我们可以认为这是一个块矩阵

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$ 每个块在哪里

N \times N

$N\times N$ 。通过稳定器的通勤，我们知道

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$ 您想找到的逆

M

$M$ 模2。您要求的逆形式为（我认为）形式

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$ 有趣的是，这让人联想到a的逆。

2 \times 2

$2\times 2$ 矩阵（但这不足以用于块矩阵。存在逐块逆，但我认为这在这里不是那么有用）。

混乱当然来自于对阶段的跟踪。我想这些迹象将与每个稳定器中Y算子数量的变化有关，但是我尚未成功地进行统一处理。Niel的回答可能会更好地自动解决它。

— 达夫·沃利
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