状态的一般构造

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两个最著名的纠缠状态是GHZ状态和状态，其中。 $|\psi\rangle = 1/\sqrt{2}\left( |0\rangle^{\otimes n} + |1\rangle^{\otimes n}\right)$ $W_n$ $W_3 = 1/\sqrt{3}\left(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle\right)$

对于任意构造GHZ状态都很简单。但是，实现状态更加困难。对于这很容易，对于我们可以使用 $n$ $W_n$ $n=2$ $n=4$

H q[0,3]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[1]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[2]
CNOT q[2],q[0]
CNOT q[2],q[3]

即使对于我们也有实现，例如，请参见此答案。但是，我还没有找到给定时输出用于构造状态的电路的。 $n=3$ $n$ $W_n$

是否存在由单量子比特门和两个量子比特门定义的算法？如果是这样，那是什么？

algorithm entanglement quantum-state

— 日本
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是的，该算法在叠加量子kata中有几种实现方式（任务14和15）：

对于，您可以使用递归算法：在前量子位上创建W状态，以状态分配一个辅助量子位，执行一些受控的SWAP来设置状态第二个量子位，然后控制一些NOT，以将辅助项重置回（操作）。 $n = 2^k$ $2^{k-1}$ $|+\rangle$ $2^{k-1}$ $|0\rangle$ WState_PowerOfTwo_Reference
对于任意，您可以使用DaftWullie（操作）所述的递归算法。 $n$ WState_Arbitrary_Reference
您还可以使用第一个递归算法为任意创建状态，这是一个巧妙的技巧。分配额外的量子比特以将给定的比特填充到，在它们上创建状态并测量额外的量子比特；如果所有量子位都为0，则原始量子位的状态为，否则将重置并重复该过程（操作）。 $W_n$ $n$ $n$ $2^k$ $W_{2^k}$ $W_n$ WState_Arbitrary_Postselect

这是该kata我最喜欢的任务，因为它允许许多不同的方法。

— 玛丽亚·米哈伊洛娃（Mariaia Mykhailova）
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产生W态的概念上最简单的方法在某种程度上类似于经典的油藏采样，因为它涉及一系列最终产生统一效果的局部操作。

基本上，您依次查看每个量子位，然后考虑“在全0s状态下还剩下多少幅度，以及我想转换成刚好是这个量子位是开状态？”。事实证明，您需要的旋转系列是我称为“奇数门”的矩阵，其矩阵如下：

M (p : q) = \sqrt{\frac{1}{p + q}} [\begin{matrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ - \sqrt{q} & \sqrt{p} \end{matrix}]

$M(p:q) = \sqrt{\frac{1}{p+q}} \begin{bmatrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ -\sqrt{q} & \sqrt{p} \end{bmatrix}$

使用这些门，您可以通过一系列越来越受控制的操作获得W状态：

该电路效率低下。它的成本为，其中是量子位的数量，是所需的绝对精度（因为在纠错的情况下，优势门不是本机的，必须是近似值）。 $O(N^2 + N \lg(1/\epsilon))$ $N$ $\epsilon$

通过从“转移掉剩下的东西”策略到“转移掉正在前进的东西”策略，我们可以提高效率。这在末尾添加了修正扫描，但每个操作仅需要单个控件。这将成本降低到： $O(N \lg(1/\epsilon))$

仍然可以做得更好，但是开始变得复杂。基本上，您可以使用单个的Grover部分步骤来获得等于幅度，但是它们将被编码为二进制寄存器（我们希望设置一个具有单个位的单寄存器）。要解决此问题，需要一个二进制到一进制的转换电路。“线性T复杂度的量子电路中的电子光谱编码”中介绍了执行此操作所需的工具。以下是相关数字。 $N$ $\sqrt{1/N}$

部分灌浆步骤：

如何执行索引操作（嗯……最接近的数字有一个累加器，在这种情况下不太合适）：

使用这种更复杂的方法可以将成本从到。 $O(N \lg(1/\epsilon))$ $O(N + \lg(1/\epsilon))$

— 克雷格·吉德尼
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4

您可以递归定义序列。从概念上讲，您想要做的是：

创建初始状态 $|0\rangle^{\otimes N}$
在qubit 1上，应用
$\frac{1}{\sqrt{N}} (\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N - 1} \\ \sqrt{N - 1} & - 1 \end{array})$ $\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N-1} \\ \sqrt{N-1} & -1 \end{array}\right)$
受控制的qubit 1，在qubits 2到上应用“ make ” （即，如果qubit 1处于状态，则执行此操作，否则不执行任何操作） $|W_{N-1}\rangle$ $N$ $|1\rangle$
在qubit 1上应用位翻转门。

如所表达的，该算法并非仅由一个和两个量子比特的门组成，但是可以肯定地通过标准通用性构造将其分解。

另外，这可能不是您能想到的最有效的算法。例如，如果，则可以仅使用层交换门的平方根来产生所需的内容- 以单个量子位上的开头。使用第二个量子位进行根交换，并且（直到需要照顾的阶段为止）。在这两个旁边放置一个辅助子，并在W-对之间进行根交换，您将获得，重复并获得，依此类推。我相信这基本上就是他们在这里所做的实验。您应该能够将此算法整合到第一个算法中，以使其更加高效（ $N=2^n$ $n$ $|1\rangle$ $|W_2\rangle$ $|W_4\rangle$ $|W_8\rangle$ $O(\log N)$ ），可以使用任意大小，但是我一直不停地细心研究细节。

— 达夫·沃利
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