我们可以通过运行并行进程来加快Grover算法的速度吗？

在经典计算中，我们可以通过尽可能多地运行并行计算节点来运行关键字搜索（例如AES）。

显然，我们也可以运行许多Grover的算法。

我的问题是；是否可以像传统计算一样使用多个Grover算法来提高速度？

当然！想像你有$K=2^k$ 搜索oracle的副本 $U_S$您可以使用的。通常，您可以通过重复操作来进行搜索

$$H^{\otimes n}(\mathbb{I}_n-2|0\rangle\langle 0|^{\otimes n})H^{\otimes n}U_S,$$ 从初始状态开始 $(H|0\rangle)^{\otimes n}$。这需要时间$\Theta(\sqrt{N})$。（我在用着$\mathbb{I}_n$ 表示 $2^n\times 2^n$ 单位矩阵。）

您可以将其替换为 $2^k$ 并行副本，每个副本都由一个 $x\in\{0,1\}^k$，使用

$$\left(\mathbb{I}_k\otimes H^{\otimes (n-k)}\right)\mathbb{I}_k\otimes(\mathbb{I}_{n-k}-2|0\rangle\langle 0|^{\otimes (n-k)})\left(\mathbb{I}_k\otimes H^{\otimes (n-k)}\right)U_S$$ 从一个状态开始 $|x\rangle(H|0\rangle)^{\otimes(n-k)}$ 运行这些程序所需的时间将减少为 $O(\sqrt{N/K})$，但要求 $K$ 倍的空间。

从规模上讲，人们可能会认为这是不相关的结果。如果您有固定数量的Oracle，$K$，那么您得到一个固定的（$\sqrt{K}$）改进（就像，如果您有 $K$ 并行经典核，您可以获得的最佳改进是 $K$），并且不会更改缩放比例。但这确实改变了基本运行时间。我们知道，格罗弗的算法完全是最优的。单个oracle将花费绝对最小的时间。因此，知道您得到了$\sqrt{K}$ 对于特定运行时间的基准值（特定值为），时间的改善是有用的 $N$。

从某种意义上说，如果我们在不同的节点上并行执行此操作，则可以节省运行时间。但是，如果我们谈论复杂性（通常指的是加速），则需要进行一些分析。

您同意我们需要 $\sqrt{N}$非并行情况下的操作。假设我们有两个节点，我们将N个元素的列表分为两个大小列表$N_1,N_2$。子列表上的搜索大约需要$\sqrt{N_1},\sqrt{N_2}$。

但是，我们有

$$\sqrt{N} = \sqrt{N_1+N_2} \le \sqrt{N_1} + \sqrt{N_2}$$

而且您仍然需要验证并行进程返回的输出中，哪个是您要寻找的输出。它增加了一个常数，因此我们通常将其隐藏在$O$ 符号。

但是，这仍然很有趣，尤其是在我们必须对硬件进行群集的情况下，因为我们受量子位数量的限制或其他限制。