为什么不能有少于5个量子位的纠错码？

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我最近读了9位，7位和5位纠错码。但是，为什么不能有少于5个量子位的量子纠错码呢？

error-correction

— 艾德克斯
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证明您至少需要5个qubit（或qudits）

这是任何单纠错（即距离3）量子纠错码至少具有5量子比特的证明。实际上，这可以推广到任何维数为 $d$ 四位数，并且可以保护任何一个或多个维数为 $d$ 量子纠错码。

（如Felix Huber所述，您至少需要5个量子位的原始证明是由于Knill-Laflamme文章[ arXiv：quant-ph / 9604034 ]阐明了Knill-Laflamme条件：以下是证明技术如今更常用。）

如果已知被擦除的量子位的位置，则任何可以校正 $t$ 未知误差，也可以校正 $2t$ 擦除误差（我们只是丢失了一些量子位，或者它变得完全去极化或类似）的量子纠错码。[1秒。III A] *。更一般地说，距离为 $d$ 的量子错误校正码可以容忍 $d-1$ 擦除错误。例如，当 $[\![4,2,2]\!]$ 代码根本无法纠正任何错误，本质上是因为它可以告诉您已发生错误（甚至是哪种类型的错误），但不能告诉它发生了哪个量子位，因此同一代码可以防止单个擦除错误（因为通过假设，我们可以准确知道这种情况下错误的发生位置。

因此，任何可以容忍一个保利误差的量子纠错码都可以从两个量子比特的丢失中恢复过来。现在，假设你有一个量子错误纠正上的代码 $n \geqslant 2$ 量子比特，编码针对单量子位的错误一个量子比特。假设您将 $n-2$ 量子比特分配给Alice，并将 $2$ 量子比特分配给Bob：那么Alice应该能够恢复原始的编码状态。如果 $n<5$ ，然后 $2 \geqslant n-2$ ，使鲍勃应该也能够恢复原始的编码状态-从而获得爱丽丝状态的克隆。由于这是由不可克隆定理排除了，接下去我们必须 $n \geqslant 5$ 来代替。

关于纠正擦除错误

*我为此找到的最早参考是

[1] Grassl，Beth和Pellizzari。
量子擦除通道的代码。
物理修订版A 56（第33-38页），1997年。
[ arXiv：quant-ph / 9610042 ]

—在[ arXiv：quant-ph / 9604034 ] 中描述了Knill-Laflamme条件后不久，因此可以合理地证明代码距离与擦除错误之间存在联系。概述如下，适用于距离为 $d$ 纠错码（并使用广义Pauli运算符同样适用于任何维数的量子位代替量子位）。

$d-1$ 量子位的损失可以通过经受完全去极化通道的那些量子位来建模，而这些损耗又可以通过受到均匀随机保利误差的那些量子位来建模。
如果那些 $d-1$ 量子位的位置未知，那将是致命的。但是，由于它们的位置是已知的，因此可以通过诉诸Knill-Laflamme条件来区分 $d-1$ 量子位上的任何一对Pauli错误。
因此，通过用最大混合状态的量子位替换已擦除的量子位，并专门测试那些 $d-1$ 量子位上的Pauli错误（请注意，与校正任意Pauli错误所用的校正程序不同），您可以恢复原始状态。

— 尼尔·德·波德拉普（Niel de Beaudrap）
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注意：如果您赞成我的答案，那么您应该考虑也赞成Felix Huber的答案，因为它已经确定了原始证据。

— Niel de Beaudrap，

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我们可以轻松证明的是，没有更小的非简并代码。

在非简并代码中，必须具有qubit的2个逻辑状态，并且对于每个可能的错误，必须具有不同的状态才能将每个逻辑状态映射到其中。因此，假设您有一个5 qubit的代码，具有两个逻辑状态 $|0_L\rangle$ 和 $|1_L\rangle$ 。可能的单量子位错误集为 $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$ ，它表示所有状态

| 0_{L} ⟩, | 1_{L} ⟩, X_{1} | 0_{L} ⟩, X_{1} | 1_{L} ⟩, X_{2} | 0_{L} ⟩, \dots

如果我们大体上应用此参数，则表明我们需要

2 + 2 \times (3 n)

$2+2\times(3n)$ 不同的状态。但是，对于

n

$n$ 量子位，最大不同状态数为

2^{n}

$2^n$ 。因此，对于距离3（即校正至少一个误差）或更大的非简并纠错代码，就需要

2^{n} \geq 2 (3 n + 1) .

$2^n\geq 2(3n+1).$ 这称为量子汉明束缚。您可以轻松地检查，这是对所有真正

n \geq 5

$n\geq 5$ ，但如果

n < 5

$n<5$ 。实际上，对于

n = 5

$n=5$ ，不等式是一个等式，因此将相应的5量子位代码称为完美代码。

— 达夫·沃利
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您能否在不调用汉明约束的情况下通过不克隆任何代码来证明这一点？

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch我知道的涉及克隆的唯一证据只是表明，一个n量子位代码无法纠正n / 2个或更多错误。如果您知道其他构造，我将很高兴学习它！

— DaftWullie

啊，我明白了@NieldeBeaudrap的答案。酷:)

— DaftWullie

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以为是标准的论点：-o

— Norbert Schuch，

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作为对其他答案的补充，我将为量子非简并纠错码添加一般的量子汉明界限。这种结合的数学公式是

2^{n - k} \geq \sum_{j = 0}^{t} (\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}) 3^{j},

$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$ 其中

n

$n$ 是指形成码字量子位的数目，

k

$k$ 是（被编码的信息的量子位的数量，以便它们被保护以防退相干），

t

$t$ 是由代码纠正的

t

$t$ 量子比特错误的数量。因为

t

$t$ 与距离

t = ⌊ \frac{d - 1}{2} ⌋

$t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$ ，然后这样的非简并量子代码将是一个

[[n, k, d]]

$[[n,k,d]]$ 量子纠错码。通过使用类似球体堆积的参数来获得该界限，以便将

2^{n}

$2^n$ 维希尔伯特空间划分为

2^{n - k}

$2^{n-k}$ 间隔每个因所测量的校正子而引起的误差，因此将一个错误分配给每个校正子，并且通过反转与此类测量的校正子相关的误差来执行恢复操作。这就是为什么通过非简并量子码校正的总错误数应小于或等于通过校正子测量得到的分区数。

但是，简并性是量子纠错码的一个属性，它暗示着这样的事实，即错误之间存在等价类，这会影响所发送的码字。这意味着在共享相同校验子的情况下，存在一些错误，它们对发送的码字的影响是相同的。这意味着可以通过相同的恢复操作纠正那些退化的错误类别，因此可以纠正更多的预期错误。这就是为什么量子汉明界对于这种简并纠错码是否成立还不知道的原因，因为可以用这种方式纠正比分区更多的错误。请参阅此问题以获取有关违反量子汉明束缚的某些信息。

— 乔苏·埃特塞扎雷塔·马丁内斯（Josu Etxezarreta Martinez）
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我想在最早的参考文献中添加简短的评论。我相信在第5.2节中已经对此进行了说明。

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

具体结果是：

$(2^r,k)$ $e$ $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$ 。

$(N,K)$ $K$ $N$ 维系统；它是一个 $e$ -纠错代码，如果系统分解为量子位的张量积，并且该代码能够纠正权重错误 $e$ 。特别是 $(2^n, 2^k)$ $e$ -错误纠正代码，我们现在将其描述为 $[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$ 码。定理5.1然后让我们证明 $k \geqslant 1$ 和一个奇数整数 $d \geqslant 3$ ， $[\![n,k,d]\!]$ 代码必须满足

\begin{aligned} n & ⩾ 4 ⌈ \frac{d - 1}{2} ⌉ + ⌈ \log 2^{k} ⌉ \\ ⩾ ⌈ 4 \cdot \frac{d - 1}{2} ⌉ + ⌈ k ⌉ \\ = 2 d - 2 + k ⩾ 6 - 2 + 1 = 5. \end{aligned}

$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$

(N.B. There is a peculiarity with the dates here: the arxiv submission of above paper is April 1996, a couple of months earlier than Grassl, Beth, and Pellizzari paper submitted in Oct 1996. However, the date below the title in the pdf states a year earlier, April 1995.)

As an alternative proof, I could imagine (but haven't tested yet) that simply solving for a weight distribution that satisfies the Mac-Williams Identities should also suffice. Such a strategy is indeed used

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

to show that no degenerate code on five qubits exists that can correct any single errors.

— Felix Huber
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Excellent reference, thanks! I didn't know the Knill--Laflamme paper well enough to know that the lower bound of 5 was there as well.

— Niel de Beaudrap

Thanks for editing! About the lower bound, it seems they don't address that five qubits are needed, but only that such code must necessarily be non-degenerate.

— Felix Huber

As a side not, from the quantum Singleton bound also

n = 5

$n=5$ follows for the smallest code being able to correct any single errors. In this case, no-cloning is not required (as

d \leq n / 2 + 1

$d\leq n/2+1$ already), and the bound follows from subadditivity of the von Neumann entropy. C.f. Section 7.8.3 in Preskill's lecture notes, theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/notes/chap7.pdf

— Felix Huber

Unless I badly misread that Section, it seems to me that they show that no error correcting code exists for

r ⩽ 4

$r \leqslant 4$ ; it seems clear that this also follows from Theorem 5.1 as well. None of their terminology suggests that their result is special to non-degenerate codes.

— Niel de Beaudrap

Sorry for the confusion. My side-comment was referring to the Quantum MacWilliams identity paper: there it was only shown that a single-error correcting five qubit code must be pure/non-degenerate. Section 5.2 in the Knill-Laflamme paper ("a theory of QECC..), as they point out, general.

— Felix Huber