近似unit矩阵

我目前有2个unit矩阵，希望以尽可能少的量子门来近似达到良好的精度。

就我而言，这两个矩阵是：

• 非门的平方根（直至全局相位） $$G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$$
• $$W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$$

我的问题如下：

如何用尽可能少的量子门和良好的精度来近似这些特定矩阵？

我想要拥有的东西可以负担得起：

1. 我有能力使用几天/几周的CPU时间和大量 RAM。
2. 我可以花1或2个工作日来寻找数学技巧（在万不得已的情况下，这就是为什么我先在这里询问）。这个时间不包括我需要实现用于第一点的假设算法的时间。
3. 我希望分解几乎是精确的。我目前没有目标精度，但是上面的2个门在我的电路中被广泛使用，并且我不希望错误累积太多。
4. 我希望分解使用尽可能少的量子门。此刻暂时是次要的。
5. 一种好的方法可以让我在量子门的数量和近似精度之间进行权衡。如果无法做到这一点，则可能需要至少$10^{-6}$（以迹线范数为准）的精度（如前所述，我没有估算值，所以我不确定该阈值）。
6. 门集是： $$\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$$ 带有Rϕ，SWAP，√的 SWAP }$R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$如描述维基百科，$R_A$相对于所述斧旋转$A$（$A$要么$X$，$Y$或$Z$）和 $$\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ 。

我知道的方法：

1. Solovay-Kitaev算法。我已经实现了该算法，并且已经在多个unit矩阵上对其进行了测试。该算法生成的序列很长，并且折衷[量子门的数量] VS [近似精度]不够参数化。不过，我将在这些门上执行算法，并使用我获得的结果来编辑此问题。
2. 关于1量子位门近似和n量子位门近似的两篇论文。我还需要测试这些算法。

编辑：编辑了问题，使“不是的平方根”更加明显。

您已经选择了两个要实现的特别简单的矩阵。

第一个操作（G）只是X门的平方根（直到全局相位）：

在您的门控集中，这是$R_X(\pi/2)$。

第二个运算（W）是其他恒等矩阵的中间2x2块中的Hadamard矩阵。每当您看到这种2x2的中间模式时，您都应该想到“ CNOT共轭的受控操作”。这就是这里的工作原理（请注意：您可能需要交换行；取决于您的字节序惯例）：

因此，唯一真正的麻烦是如何实施受控的Hadamard操作。Hadamard绕X + Z轴旋转180度。您可以绕Y轴旋转45度，将X + Z轴移至X轴，然后对CH进行CNOT，然后将轴移回：

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

$W$$W \in O(4)$$CNOTs$

从需要两个CNOT门和最多12个单量子位门（对于实际的两个量子位门的最一般情况）的角度来看，该结构是最佳的。构造基于同构：

$M$$M$

使用此构造，Vatan和Williams给出的完整门实现为：

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$$R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$$B$

这些门都不要求近似序列。您可以毫不费力地使用指定的门集准确地实现它们。

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$$R_Y(\theta)$