EKF中的协方差矩阵？

我在协方差矩阵的概念上苦苦挣扎。 现在，我的用于理解σ X X，σ ÿ ÿ，和σ θ θ，它们描述不确定性。例如，对于σ X

$$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$$ $\sigma_{xx}$$\sigma_{yy}$$\sigma_{\theta \theta}$$\sigma_{xx}$，它描述了x值的不确定性。现在，我对其余的西格玛问题表示什么？如果它们为零意味着什么？我可以理解，如果是零，这意味着我没有关于x的值不确定性。$\sigma_{xx}$

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注意，我正在阅读Howie Choset等人的《机器人运动原理-理论，算法和实现》。等，其中指出

通过这个定义是一样的σ 2 我的方差X 我。对于我≠ Ĵ，如果σ 我Ĵ = 0，则X 我和X Ĵ是相互独立的。$\sigma_{ii}$$\sigma_{i}^{2}$$X_{i}$$i ≠ j$$\sigma_{ij} = 0$$X_{i}$$X_{j}$

如果其余的sigma为零，这可能会回答我的问题，但是，我仍然对这些变量（例如和y）之间的关系感到困惑。什么时候发生？我的意思是它们之间的相关性。或者换句话说，我可以假设它们为零吗？$x$$y$

另一本书，即Michael和Sebastian 撰写的FastSLAM：一种可扩展方法...

此多元高斯变量的协方差矩阵的非对角线元素对状态变量对之间的相关性进行编码。

他们没有提到相关性何时发生，这意味着什么？

这是一个玩具箱，其中非对角元素为非零。

考虑一个状态向量，该状态向量包括左右车轮的位置，而不仅仅是机器人的单个位置。现在，如果左轮的位置为100m，那么您就会知道右轮的位置也将约为100m（取决于轴长）。通常，随着左轮位置的增加，右轮也会增加。这不是精确的1：1关联，例如，当机器人旋转时，它并不完全成立，但总体而言仍然成立。

因此，此处左轮x位置和右轮x位置之间的非对角线入口将接近1。

要了解协方差矩阵-无需在这里讨论数学细节-最好从2x2矩阵开始。然后，请记住，协方差矩阵是方差概念在多变量情况下的扩展。在一维情况下，方差是单个随机变量的统计信息。如果您的随机变量具有均值为零的高斯分布，则其方差可以精确定义概率密度函数。

现在，如果将其扩展到两个变量而不是一个变量，则可以区分两种情况。如果您的两个变量是独立的，则意味着一个值的结果与另一个值没有关系，其与一维情况基本相同。你和您的σ ÿ ÿ给出的方差X和Ÿ您的随机变量的一部分，并且σ X Ÿ将为零。$\sigma_{xx}$$\sigma_{yy}$$x$$y$$\sigma_{xy}$

如果变量是从属变量，则这是不同的。从属意味着和y的结果之间存在关系。例如，当x为正数时，您通常可以让y通常也为正数。这是由你的协方差值给出σ X ÿ。$x$$y$$x$$y$$\sigma_{xy}$

举一个在2D情况下没有方向的机器人为例，虽然有些人为，但是可以说您在轴的行进方向上有一个随机分量，并且您知道该分量也会在您的横轴（y）。例如，这可能是车轮故障。这将导致旋转的不确定椭圆。现在，例如，当您以后有一些东西可以测量实际的x位置时，您可以估计y分量的不确定性分布。$x$$y$$x$$y$

一个更相关的示例是在3D情况下，通常在横向方向上与横向方向相比，不确定性有所不同。旋转系统时（改变），这也会旋转不确定性椭圆。请注意，实际表示形式通常是某种香蕉形状，而高斯只是一个近似值。在EKF情况下，其围绕均值线性化。$\theta$

可视化的一种真正好的方法是使用不确定性椭圆的概念。它基本上示出了为一个多变量高斯分布边界，并且可以被用于可视化的协方差矩阵。快速搜索显示了此演示，它还将为您提供有关如何构建协方差的其他信息。本质上，对角线入口定义了轴的范围，而非对角线入口则涉及整个椭圆的旋转。$1 \sigma$

在3D情况下也是如此。我很想在这里获得更多的数学信息，但也许稍后。