在PID控制中，零极表示什么？

每当我读到有关控制（例如PID控制）的文本时，都会经常提到“极点”和“零点”。那是什么意思？极或零描述什么物理状态？

描述输入到系统的输出如何映射到系统的输出的函数称为传递函数。$T(\mathbf{x})$

对于线性系统，传递函数可以写为，其中和是多项式，即N D T （x）= N （x$N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

该系统的零点是的值满足语句。换句话说，它们是多项式。作为。接近零，传递函数的分子（因此传递函数本身）接近值0。N （x）= 0 N （x）N （x$x$$N(\mathbf{x}) = 0$$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

类似地，系统的极点是的值满足语句。换句话说，它们是多项式。当接近极点时，传递函数的分母接近零，传递函数的值接近无穷大。D （x）= 0 D （x）D （x$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

零极点使我们能够了解系统如何对各种输入做出反应。零点因其阻断频率的能力而令人感兴趣，而极点则为我们提供了有关系统稳定性的信息。通常，我们在复平面上绘制极点和零点，并且我们说如果极点位于复平面的左半部分（LHP-左半平面），则系统是有界输入有界输出（BIBO）稳定的。

最后，当我们设计控制器时，实际上是在操纵它的零点和零点，以便获得特定的设计参数。

当您对某些线性微分方程执行拉普拉斯变换时，会发生这些多项式传递函数，这些方程实际上描述了您的机器人，或者是在某个所需状态下线性化了机器人的动力学的结果。可以将其视为围绕该状态的“泰勒扩张”。

拉普拉斯变换是傅里叶变换对非周期性函数的推广。在电气工程中，拉普拉斯变换被解释为系统在频域中的表示，即它描述了系统如何从输入信号传输任何频率。零然后描述了不被传输的频率。正如DaemonMaker已经提到的那样，极点在考虑系统稳定性时很重要：系统的传递函数在极点附近达到无穷大。

它们在控制上下文中的含义：

极点：它们告诉您，一个系统（也可以是新系统，其中您已插入带有控制律的反馈回路）是否稳定。通常，您希望系统稳定。因此，您希望系统的所有极点都在左半平面（即极点的实数部分必须小于零）。极点是系统矩阵的特征值。它们在左半平面上的距离告诉您系统收敛到静止状态的速度。它们离虚轴越远，系统收敛越快。

零点：如果您的磁极在右半平面上或仍在左半平面上，但与虚轴太近，则可以方便使用：通过对系统进行巧妙的修改，您可以将零点移到不需要的磁极上以消灭他们。

我不能真正说出传递函数的零，但是传递函数的两极肯定有一个有意义的解释。

要理解这种解释，你要记住，我们要控制的系统真的是两件事情之一：要么是差分方程或差分方程。无论哪种情况，求解这些方程式的常用方法都是确定其特征值。更重要的是，当系统为线性时，微分/差分方程的特征值正好对应于传递函数的极点。因此，通过获取极点，您实际上可以获取原始方程式的特征值。真正确定系统稳定性的是原始方程的特征值（在我看来）。线性系统的极点恰好是原始方程的特征值，这真是一个令人惊讶的巧合。

为了说明这一点，请分别考虑两种情况：

情况1：微分方程

当微分方程的所有特征值均具有负实部时，则所有轨迹（即所有解）都将在原点（x = 0）处接近平衡解。这是因为溶液差分方程通常的指数的形式的函数像，其中是本征值。因此，仅当，函数作为。否则，如果，则数量很可能会爆炸到无穷大，或者根本不会收敛到零。 λ X （吨）→ 0 吨→ ∞ - [R È （λ ）< 0 - [R È （λ ）≥ 0 È λ $x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$$t\rightarrow \infty$$Re(\lambda)<0$$Re(\lambda)\ge 0$$e^{\lambda t}$

情况2：差分方程

当差分方程的所有特征值的大小都小于1时，则所有轨迹（即所有解）都将在原点（x = 0）处接近平衡解。这是因为差分方程的解通常采用指数序列的形式，例如，其中是特征值。因此，仅当，序列为。否则，如果，则数量会爆炸到无穷大，或者根本不会收敛到零。 λ X 吨 → 0 吨→ ∞ | λ | < 1 | λ | ≥ 1 λ $x_t=C\lambda^t$$\lambda$ $x_t\rightarrow 0$$t\rightarrow\infty$$|\lambda|<1$$|\lambda|\ge 1$$\lambda^t$

无论哪种情况，系统函数的极点与（齐次）微分/差分方程的特征值都是完全相同的！我认为将极点解释为特征值对我来说更有意义，因为特征值以更自然的方式解释了稳定性条件。