间断Galerkin：节点vs模态的优缺点

有两种通用方法可以表示不连续Galerkin方法中的解：节点法和模态法。

1. 模态：解由模态系数的总和乘以一组多项式来表示，例如其中通常是正交多项式，例如Legendre。这样的一个优点是正交多项式生成对角质量矩阵。$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. 节点：单元由定义解决方案的多个节点组成。然后，基于对插值多项式进行拟合来重建单元，例如，其中是拉格朗日多项式。这样的优点之一是，您可以将节点放置在正交点上并快速求积分。$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

在大规模的情况下，复合物（ -自由度）3D混结构具有灵活性，实施的清晰度，和效率的目标/非结构化并行应用程序，什么是每种方法的比较优势和劣势？$10^6$$10^9$

我确信那里已经有很多文学作品，所以如果有人可以指出我的想法，那也将是一件很棒的事情。

以下折衷同样适用于DG和频谱元素（或有限元素）。$p$

对于模态基数，如适应性那样，更改元素的顺序更为简单，因为现有的基函数不会更改。这通常与性能无关，但是无论如何，有些人还是喜欢它。对于某些抗锯齿技术，模态基数也可以直接过滤，但这也不是性能瓶颈。还可以选择模态基数以暴露元素中的稀疏性，以供特殊运算符使用（通常是拉普拉斯矩阵和质量矩阵）。这不适用于可变系数或非仿射元素，并且对于3D中通常使用的适度顺序而言，节省的金额并不大。$p$

节点基简化了元素连续性的定义，简化了边界条件，接触等的实现，更易于绘制，并导致更好的$h$-离散运算符中的椭圆率（因此允许使用较便宜的平滑器/预处理器）。定义求解器使用的概念（例如刚体模式（仅使用节点坐标））以及定义某些网格转移算符（例如在多网格方法中出现）也更加简单。嵌入式离散化也很容易进行预处理，无需更改基础。节点离散化可以有效地使用并置正交（如使用光谱元素方法），并且相应的欠积分可能有益于节能。一阶方程的元素间耦合对于节点基稀疏，尽管通常对模态基进行修改以获得相同的稀疏性。

我很好奇看到这个问题的一些答案，但是不知何故没人愿意回答...

关于文学，我非常喜欢《用于计算流体动力学的光谱/马力单元方法》一书（现在也有便宜的平装版）以及《海斯哈芬和沃伯顿》一书。这两个细节相当详细，可以帮助您实现这些方法。书卡努托，HUSSAINI，Quarteroni和臧是更多的理论。该书也有第二卷“光谱方法：向复杂几何的演化和对流体动力学的应用”。

我不从事DG方法的研究，也不是判断节点与模态优势的专家。Karniadakis＆Sherwin的书更着重于具有连续模态展开的方法。在这种类型的方法中，您必须对两个相邻元素中的模式进行重新排序，以使接口上的相应模式匹配，以保持全局扩展的连续性。此外，强加边界条件需要格外注意，因为您的模式与边界上的特定位置无关。

我希望熟悉这种方法的人可以添加更多细节。