三次特征值问题的Jacobi-Davidson方法的实现

我有一个很大的立方特征值问题：

$$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$$

我可以通过转换为线性特征值问题来解决此问题，但这将导致系统大：$3^2$

$$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$$

其中和。还有哪些其他技术可以解决三次特征值问题？我听说有一个Jacobi-Davidson版本可以解决该问题，但尚未实现。$\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$$\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

另外，我需要能够类似于ARPACK的移位和反转方法来定位特定特征值，并找到相关的特征向量。

使用ARPACK的反向通信协议，您无需存储 $3n \times 3n$ 显式矩阵：您只需要提供两个函数即可计算：

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ 和 $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

（您仍然需要支付存储 $3\times n$维向量，但您无需为矩阵支付任何费用）。

关于反向转换，您可以执行相同操作，即，通过使用计算 $x \mapsto M^{-1} x$ 代替 $x \mapsto M x$ 并取代计算 $\lambda's$ 与 $\lambda^{-1}$。计算$M^{-1}x$，您可以预分解矩阵 $M$，这意味着仅预分解 $A_0$（根据矩阵的结构使用LU，Cholesky或它们的稀疏版本）。对于完整的移相变换，我认为可以做类似的事情。