计算截断的SVD，一次一个奇异值/向量

是否有一种截断的SVD算法可以一次计算一个奇异值？

我的问题：我想计算一个大的密集矩阵M的前$k$奇异值（和奇异矢量），但是我不知道k的合适值是多少。M很大，因此出于效率考虑，我宁愿不评估完整的SVD，而只是在之后截断最小的SV。$M$$k$$M$

理想情况下，将计算的奇异值的方式$\sigma_1, \sigma_2,\ldots$顺序，从最大（$\sigma_1$）到最小（$\sigma_n$）。这样一来，我可以简单地停止计算计算后$k$个奇异值，如果$\sigma_k/\sigma_1$下降到低于某个阈值。

是否存在这样的算法（最好使用Python实现）？在谷歌搜索中，我只发现了以k为参数的截断SVD函数，因此迫使您先验猜测。

如果您需要近似k分解系数，则有几个选项可用。

1. 排名显着的QR因式分解
2. 插值分解（ID）和其他随机技术。

可以使用标准技术将上述形式的近似分解分解为标准分解，例如QR或SVD。Halko，Martinsson和Tropp在论文中提供了很好的评论“随机发现结构：构建近似矩阵分解的概率算法”

在软件方面，可以在scipy（scipy.linalg.interpolative）http://docs.scipy.org/doc/scipy-dev/reference/linalg.interpolative.html中找到ID算法的接口，该接口可让用户指定$\epsilon$。

（编辑，因为我一开始误解了这个问题；您已经知道有一些例程可以计算第一个 $k$奇异值。）

如果排除计算整个SVD的方法，则部分SVD算法将简化为使用迭代方法来解决相关的Hermitian特征值问题。因此，您可以采用的一种策略是自己手工编码这种事情，并使用移位和反转策略之类的方法来解决最大剩余的未解决的奇异值，直到您想停止为止。在诸如SLEPc之类的复杂程序包中，可能会有一些优雅的方法来执行此类操作。

另一个策略如下：

• $s_{1}$
• $\tau \cdot s_{1} \cdot f$$\tau$$0 < f \leq 1$
• 调用稀疏SVD例程。

$k$