纯旋转最小二乘法

任何人都可以推荐以下最小二乘问题的方法：

最小化的中找到，其中R是单一的（旋转）矩阵。$R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$$\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \min$$R$

我可以通过最小化$\sum\limits_{i=0}^N (Ax_i - b_i)^2 \rightarrow \min$（任意$A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$）来得到一个近似解矩阵$A$和：

• 计算SVD：$A = U \Sigma V^T$，降低$\Sigma$并近似$R \approx U V^T$
• 计算极坐标分解：$A = U P$，舍弃纯比例对称（在我的情况下为正定）$P$并逼近$R \approx U$

我也可以使用QR分解，但是它不是等距的（取决于坐标系的选择）。

有人知道至少有一种方法可以做到这一点，但比上述两种方法更好吗？

该问题称为Wahba问题，一种解决方案称为Kabsch算法，后一种更流行的算法称为Davenport q方法。显然，它已在航空学中用于确定飞行器方向的研究。关于方法有很多评论。

请注意，最合适的选择可能包括反射。

Kabsch方法计算3x3协方差矩阵SVD并删除项（取模一次反射，通常通过取反SVD 中的最后一列来解释）。将其推广到其他数量的维度非常简单。$\Sigma$$U$

Davenport q方法经常被吹捧为第一个实用算法，也许有人可以评论为什么。它还构造了一个3x3协方差矩阵，但随后根据四元数对旋转矩阵进行参数化，问题就变成了计算对称4x4矩阵的最大特征值特征向量。

（某些）最受欢迎的数字实现称为QUEST和FOMA。这些方法通常是通过写出和优化特征多项式（四次），然后解析地求解（涉及复杂的计算，通过Kardano公式）或牛顿迭代来计算最大特征值的主题的变体。

Schuster还开发并分析了一些迭代算法变体。