有什么办法可以做“双重预处理”

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题：

假设您对对称正定矩阵有两个不同的（分解的）前置条件：和其中的逆是容易申请。 $A$

一种 \approx 乙^{Ť} 乙

$A \approx B^TB$

一种 \approx C^{Ť} C ，

$A \approx C^TC,$

B, B^{T}, C, C^{T}

$B, B^T, C, C^T$

什么时候可以使用的信息来自两个和建设比任何一个更好的预处理器或一个人吗？ $B$ $C$ $B$ $C$

— 尼克·阿尔格
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您可以使用添加剂

P_{a}^{- 1} x = (B^{T} B)^{- 1} x + (C^{T} C)^{- 1} x ，

$P_a^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} x,$

可乘的

P_{米}^{- 1个} X = （ 乙^{Ť} 乙 ）^{- 1个} X + （ C^{Ť} C ）^{- 1个} （ X - 一种 （ 乙^{Ť} 乙 ）^{- 1个} X ） ，

$P_m^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} \Big(x - A (B^T B)^{-1} x \Big),$

或对称乘法。使用PETSc中的PCCOMPOSITE在PETSc 中可以使用此类方法。例如，

petsc/src/ksp/ksp/examples/tutorials$ ./ex2 -m 100 -n 100 -ksp_monitor \ -pc_type composite -pc_composite_type multiplicative \ -pc_composite_pcs ilu,gamg 0 KSP Residual norm 7.088415699389e+01 1 KSP Residual norm 1.271768323411e+01 2 KSP Residual norm 1.529853612054e+00 3 KSP Residual norm 1.214841683459e-01 4 KSP Residual norm 8.341606406485e-03 5 KSP Residual norm 6.471990946051e-04 6 KSP Residual norm 8.082672366030e-05 7 KSP Residual norm 6.111138513482e-06 Norm of error 6.93786e-06 iterations 7

该用户手册对“组合预条件”一节。

— 杰德·布朗
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非常好，谢谢！您是否知道讨论这些组合有效或无效的条件的任何理论或论文，或者仅仅是反复试验？

— Nick Alger 2014年

与所有预处理一样，分析是根据预处理算子的频谱进行的，通常通过广义特征值问题来表示。直观地，如果每个预处理器针对不同的过程或频谱的不同部分，则合并的目的是对这两个部分进行校正。此类中最成功的方法是基于子空间校正，其中包括多重网格，域分解和字段拆分（每种都为文献）。在这些情况下，PETSc具有更专业的预处理器，可以公开并行性或重用中间结果。

— 杰德·布朗

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除了Jed的出色回答外，我最近发现的一种方法是在柔性GMRES（FGMRES）的其他每个步骤之间切换预处理器，例如，

Tezduyar，TE等。“一种用于有限元计算的新型混合预处理方法。” 应用力学和工程中的计算机方法99.1（1992）：27-42。http://repository.ias.ac.in/24680/1/320.pdf

— 尼克·阿尔格
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