解决高维抛物线形偏微分方程（多电子薛定ding方程）的最新技术

用简单极点（形式为）在复杂域中求解高维（3-10）抛物型PDE的最新技术水平是什么）并吸收边界条件？$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

具体来说，我对求解多电子Schrödinger方程感兴趣：

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

对于具有1个以上电子的双原子分子。

该方程的解在 如果电子数量足够小，则可以使用任何传统方法。类似于域离散化方法（有限差分，有限元，边界元）或伪光谱方法。由于求解该方程并不比求解多维波动方程困难。

对于较大的系统，需要一些技巧来解决。我们将电子与电子的相互作用替换为电子与电子云的相互作用（其余电子的平均场近似），然后以自洽的方式求解（由于来自平均场的非线性术语）。这是在Hartree-Fock和密度泛函理论（DFT）中完成的。将原始微分方程转换为变分公式。

DFT是当今最常用的方法，其优点是所有方程都是根据电子密度而不是波动方程来表示的。因此，方程位于3维空间中。一本描述这两种方法的书是

• Thijssen，Jos。计算物理学。剑桥大学出版社，2007年。亚马逊链接。

您要求解3到10个粒子系统（每个粒子3D）？据我所知，平均场论对这么少的粒子并不是特别有效，但是似乎已经对双原子分子进行了DFT研究。

这是Born-Oppenheimer有效的系统吗？如果是的话，我可能会倾向于使用斯莱特的线性组合决定可能使用稀疏网格或频谱稀疏网格，扩大电子波函数本文或许可以帮助。

另一个选择是尝试使用紧密绑定的方法，尽管您提到吸收边界条件这一事实表明您可能正在考虑涉及电离/解离的问题。如果您试图近似低水平状态，则结核病最有用。

可能像多配置时间相关的Hartree-Fock方法之类的方法可以在此处使用MCTDHF。

最后，您可以看一下量子蒙特卡洛方法。这些是获取单个原子的交换和相关函数模型以进行DFT计算的方法。看起来好像有多原子扩展。（我没有链接权限）。

如果您有原子，则波动函数取决于变量。如果要在每个方向上具有节点（或具有一维形状函数）的均匀网格上离散化此函数，则总共需要未知数-对于任何一个未知数来说有趣的数字的电子。仅举一个例子，如果您在每个方向上仅使用节点，并且只有3个电子，那么您已经拥有一个大小为的系统，这在一个人可以做的工作的极限范围内今天。$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

因此，不可能同时考虑所有电子的问题-您需要一次限制一个或两个电子。这自然会导致您使用诸如Hartree Fock方法之类的方法，该方法在保持系统其余部分固定的同时对电子进行迭代。

我对该领域的了解还不够，但是可以想象一下，有很多关于该主题的引用率很高且写得很好的评论论文。