Questions tagged «parabolic-pde»

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] 0,1 []中热方程的周期边界条件
让我们考虑一个平滑的初始条件和热方程在一个维度: 在开区间] 0 ,1 [,让我们假设我们想要与有限差分数值求解。∂tu=∂xxu∂tu=∂xxu \partial_t u = \partial_{xx} u]0,1[]0,1[]0,1[ 我知道,要使我的问题很好地解决,我需要赋予它和x = 1的边界条件。我知道Dirichlet或Neumann都能很好地工作。x=0x=0x=0x=1x=1x=1 如果我在第一种情况下有内部点x k = kNNN表示k=1,⋯,N,则我有N个未知数:uk=u(xk)表示k=1,⋯,N,因为u是在边界处规定的。xk=kN+1xk=kN+1x_k=\frac{k}{N+1}k=1,⋯,Nk=1,⋯,Nk=1,\cdots,NNNNuk=u(xk)uk=u(xk)u_k=u(x_k)k=1,⋯,Nk=1,⋯,Nk=1,\cdots,Nuuu 在第二种情况下真有未知数ü 0,⋯ ,ù Ñ + 1,我知道如何使用(均相)诺伊曼BC在边界来离散拉普拉斯,例如具有两个虚构点的红利x − 1和x N + 2以及等式:N+2N+2N+2u0,⋯,uN+1u0,⋯,uN+1u_0,\cdots,u_{N+1}x−1x−1x_{-1}xN+2xN+2x_{N+2} u1−u−12h=0=uN+2−uN2hu1−u−12h=0=uN+2−uN2h\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h} 我的问题是关于定期公元前。我觉得我可以使用一个方程,即 ,但也许两年,然后我会用 ∂ X ü (0 )= ∂ X ù (1 )u(0)=u(1)u(0)=u(1)u(0) = u(1)∂xu (0 …

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解决高维抛物线形偏微分方程(多电子薛定ding方程)的最新技术
用简单极点(形式为)在复杂域中求解高维(3-10)抛物型PDE的最新技术水平是什么)并吸收边界条件?1|r⃗ 1−r⃗ 2|1|r→1−r→2| \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} 具体来说,我对求解多电子Schrödinger方程感兴趣: (∑i∑j≠i[−∇2i2m−ZiZj|r⃗ i−r⃗ j|+V(r⃗ i,t)])ψ=−i∂tψ(∑i∑j≠i[−∇i22m−ZiZj|r→i−r→j|+V(r→i,t)])ψ=−i∂tψ \left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi 对于具有1个以上电子的双原子分子。

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在哪里可以找到解决抛物线偏微分方程的几种方法的稳定性的良好参考?
现在,我有一个使用Crank-Nicholson算法的代码,但是我认为我想转向更高阶的算法以进行时间步长。我知道Crank-Nicholson算法在我想工作的领域中是稳定的,但我担心某些其他算法可能不是。 我知道如何计算算法的稳定区域,但这可能有点麻烦。有人知道抛物线偏微分方程的大量时间步长算法的稳定性吗?

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最佳使用Strang分裂(用于反应扩散方程)
在计算简单的一维反应扩散方程的解时,我做了一个奇怪的观察: ∂∂ta=∂2∂x2a−ab∂∂ta=∂2∂x2a−ab\frac{\partial}{\partial t}a=\frac{\partial^2}{\partial x^2}a-ab ∂∂tb=−ab∂∂tb=−ab\frac{\partial}{\partial t}b=-ab ∂∂tc=a∂∂tc=a\frac{\partial}{\partial t}c = a b的初始值bbb是一个常数(b(0,x)=b0b(0,x)=b0b(0,x)=b_0),我只对aaa从000到1的积分感兴趣111(∫10a(t,x)dt∫01a(t,x)dt\int_0^1a(t,x)dt)。的目的ccc和式∂∂tc=a∂∂tc=a\frac{\partial}{\partial t}c = a只是评估这个积分。 我使用了Strang分裂方案进行扩散和反应之间的偶联(半步反应,然后进行全步扩散,然后再次进行半步反应),对扩散进行了Crank Nicholson方案,并对反应进行了分析(包括等式∂∂tc=a∂∂tc=a\frac{\partial}{\partial t}c = a)。 因为分析溶液的一个步骤比Crank Nicholson方案的一个步骤慢3倍以上,所以我尝试为每个反应步骤制造一个以上的Crank Nicholson步骤。我希望能以更少的Strang拆分方案来解决问题,以便总体上更快。 但是,可以观察到相反的效果,即如果使用了多于一个的Crank Nicholson步骤,则需要更多的Strang拆分方案步骤。(我只关心整体上的准确性,这似乎收敛速度比本身)。想了一段时间后,我注意到,同样的效果也发生了,我什至理解为什么会出现这种情况。关键是,如果我精确地执行了一个Crank Nicholson步骤,那么整个方案将变成梯形规则(如果)。aaaaaab(t,x)=b0=0b(t,x)=b0=0b(t,x)=b_0=0b(t)=0b(t)=0b(t)=0 因此,如果我将视为扩散步骤的一部分,那么增加Crank Nicholson步骤的数量(可能)不会导致整体准确性降低(如观察到的那样)。但这似乎违反了为系统的(非线性和可能非常刚性的)反应部分使用解析解决方案的目的。∂∂tc=a∂∂tc=a\frac{\partial}{\partial t}c = a 所以这是我的问题:在Strang分裂的情况下,有没有更好的方法来处理,而不是将其视为反应步骤的一部分或作为扩散步骤的一部分。我想避免被“强制”使用恰好一个Crank Nicholson步骤进行扩散。(例如,在3D中,我宁愿通过FFT而不是使用Crank Nicholson来解析解析扩散。当然,我也可以将FFT与Crank Nicholson结合使用,所以没什么大不了的。)∂∂tc=a∂∂tc=a\frac{\partial}{\partial t}c = a
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