最佳使用Strang分裂（用于反应扩散方程）

在计算简单的一维反应扩散方程的解时，我做了一个奇怪的观察：

$\frac{\partial}{\partial t}a=\frac{\partial^2}{\partial x^2}a-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}b=-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

b的初始值$b$是一个常数（$b(0,x)=b_0$），我只对$a$从$0$到1的积分感兴趣$1$（$\int_0^1a(t,x)dt$）。的目的$c$和式$\frac{\partial}{\partial t}c = a$只是评估这个积分。

我使用了Strang分裂方案进行扩散和反应之间的偶联（半步反应，然后进行全步扩散，然后再次进行半步反应），对扩散进行了Crank Nicholson方案，并对反应进行了分析（包括等式$\frac{\partial}{\partial t}c = a$）。

因为分析溶液的一个步骤比Crank Nicholson方案的一个步骤慢3倍以上，所以我尝试为每个反应步骤制造一个以上的Crank Nicholson步骤。我希望能以更少的Strang拆分方案来解决问题，以便总体上更快。

但是，可以观察到相反的效果，即如果使用了多于一个的Crank Nicholson步骤，则需要更多的Strang拆分方案步骤。（我只关心整体上的准确性，这似乎收敛速度比本身）。想了一段时间后，我注意到，同样的效果也发生了，我什至理解为什么会出现这种情况。关键是，如果我精确地执行了一个Crank Nicholson步骤，那么整个方案将变成梯形规则（如果）。$a$$a$$b(t,x)=b_0=0$$b(t)=0$

因此，如果我将视为扩散步骤的一部分，那么增加Crank Nicholson步骤的数量（可能）不会导致整体准确性降低（如观察到的那样）。但这似乎违反了为系统的（非线性和可能非常刚性的）反应部分使用解析解决方案的目的。$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

所以这是我的问题：在Strang分裂的情况下，有没有更好的方法来处理，而不是将其视为反应步骤的一部分或作为扩散步骤的一部分。我想避免被“强制”使用恰好一个Crank Nicholson步骤进行扩散。（例如，在3D中，我宁愿通过FFT而不是使用Crank Nicholson来解析解析扩散。当然，我也可以将FFT与Crank Nicholson结合使用，所以没什么大不了的。）$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

我要写这个作为答案，尽管它不能直接回答问题。

将第二个方程式和第三个方程式插入第一个方程式，然后将第三个方程式插入第二个方程式，一起给出： 重新排列这两个值： 现在，我们可以将这两个都集成到，剩下的就是第一个方程：

$$\begin{align} \frac{\partial^2 c}{\partial t^2} &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial b}{\partial t} \\ \frac{\partial b}{\partial t} &= - \left(\frac{\partial c}{\partial t}\right) b \end{align}$$ $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - b \right) &= 0 \\ \frac{1}{b}\left(\frac{\partial b}{\partial t}\right) &= -\frac{\partial c}{\partial t} \end{align}$$ $t$ $$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b + A(x)$$ 使用第三个方程，我们可以表达积分的“常数”为。第二个方程式比较棘手。稍微重写一下，我们得到： 这导致解 或者 幂给出： 最后，堵塞该进PDE为给 $A(x)=a_0-\frac{\partial^2 c_0}{\partial x^2}-b_0$ $$\int_0^t \frac{1}{b(x,t')}\left(\frac{\partial b(x,t')}{\partial t'}\right) dt' = -\int_0^t \frac{\partial c(x,t')}{\partial t'} dt'$$ $$\ln b(x,t) - \ln b_0(x) = - c(x) + c_0(x)$$ $$\ln \frac{b}{b_0} = -c + c_0$$ $$b = b_0 e^{c_0-c}$$ $c$ $$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b_0 e^{c_0-c}+A(x)$$

用替换，或等效地使用初始条件，式简化为 现在，您应该能够找到大量文献，找到有关求解该方程的最佳方法。我不知道Crank-Nicholson对于指数项是否是一个很好的选择，但似乎是合理的。可能要小心一些，以确保在任何地方，否则解决方案可能会迅速。$c$$c-c_0$$c_0(x)=0$

$$\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + a_0 - (1-e^{-c}) b_0$$ $c > c_0$

我只经历了两次推导，所以其中可能有一个或两个错误，但是对我来说它是正确的感觉。如果在任何地方，那么这显然是正确的解决方案，否则它似乎很有道理。$b_0 = 0$

解决这个问题直到并评估应该会为您提供所需的答案。$t=1$$c(x,1)$