] 0,1 []中热方程的周期边界条件

13

让我们考虑一个平滑的初始条件和热方程在一个维度：在开区间，让我们假设我们想要与有限差分数值求解。

\partial_{t} u = \partial_{x x} u

$\partial_t u = \partial_{xx} u$

] 0, 1 [

$]0,1[$

我知道，要使我的问题很好地解决，我需要赋予它和边界条件。我知道Dirichlet或Neumann都能很好地工作。 $x=0$ $x=1$

如果我在第一种情况下有内部点 $N$ 表示，则我有未知数：表示，因为是在边界处规定的。 $x_k=\frac{k}{N+1}$ $k=1,\cdots,N$ $N$ $u_k=u(x_k)$ $k=1,\cdots,N$ $u$

在第二种情况下真有未知数，我知道如何使用（均相）诺伊曼BC在边界来离散拉普拉斯，例如具有两个虚构点的红利和以及： $N+2$ $u_0,\cdots,u_{N+1}$ $x_{-1}$ $x_{N+2}$

\frac{u_{1} - u_{- 1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N + 2} - u_{N}}{2 h}

$\frac{u_1-u_{-1}}{2 h} = 0 = \frac{u_{N+2}-u_N}{2 h}$

我的问题是关于定期公元前。我觉得我可以使用一个方程，即，但也许两年，然后我会用

u (0) = u (1)

$u(0) = u(1)$

\partial_{x} u (0) = \partial_{x} u (1)

$\partial_x u(0) = \partial_x u(1)$

但我不确定。我也不知道我应该有多少个未知数。难道？ $N+1$

pde boundary-conditions parabolic-pde

— bela83
source

您有Dirichlet或Neumann边界条件吗？鬼单元的数量取决于您Neumann边界条件的近似顺序。

— ilciavo 2015年

@ilciavo，问题是关于周期性边界条件的。

— 比尔·巴特

8

最好的方法是（如您所说）仅使用周期性边界条件的定义，并从一开始就使用的事实正确地建立方程式。实际上，更强烈的是， $u(0)=u(1)$ 周期性边界条件标识和 $x=0$ $x=1$ 。出于这个原因，您在解决方案域中应该只包含以下几点之一。使用周期性边界条件时，开放间隔没有意义，因为没有边界。

这个事实意味着您不应该在处放置点，因为它与相同。离散化个点，然后使用以下事实：根据定义，左侧的点是，而右侧的点 $x=1$ $x=0$ $N+1$ $x_0$ $x_N$ 是 $x_N$ $x_0$ 。

周期性网格的示意图

然后可以将您的PDE在空间中离散为

\frac{\partial}{\partial t} [\begin{matrix} x_{0} \\ x_{1} \\ ⋮ \\ x_{N} \end{matrix}] = \frac{1}{Δ x^{2}} [\begin{matrix} x_{N} - 2 x_{0} + x_{1} \\ x_{0} - 2 x_{1} + x_{2} \\ ⋮ \\ x_{N - 1} - 2 x_{N} + x_{0} \end{matrix}]

$\frac{\partial}{\partial t} \left[\begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{array}\right] = \frac{1}{\Delta x^2} \left[\begin{array}{c} x_N - 2x_0 + x_1 \\ x_0 - 2x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{N-1} - 2x_N + x_0 \end{array}\right]$

可以用矩阵形式写成，其中

\frac{\partial}{\partial t} \vec{x} = \frac{1}{Δ x^{2}} A \vec{x}

$\frac{\partial}{\partial t}\vec{x} = \frac{1}{\Delta x^2} \mathbf{A} \vec{x}$

A = [\begin{matrix} - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 \end{matrix}] .

$\mathbf{A} = \left[\begin{array}{c} -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ && \ddots & \ddots & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].$

当然，不需要实际创建或存储此矩阵。有限的差异应即时计算，并注意根据需要特别处理第一个和最后一个点。

\partial_{t} u = \partial_{x x} u + b (t, x)

$\partial_t u = \partial_{xx}u + b(t,x)$

x \in [- 1, 1)

$x\in[-1,1)$

u_{Ref} (t, x) = \exp (- t) \cos (5 π x)

$u_\text{Ref}(t,x) = \exp(-t)\cos(5\pi x)$

b (t, x) = (25 π^{2} - 1) \exp (- t) \cos (5 π x)

$b(t,x) = (25\pi^2-1)\exp(-t)\cos(5\pi x)$

clear

% Solve: u_t = u_xx + b
% with periodic boundary conditions

% analytical solution:
uRef = @(t,x) exp(-t)*cos(5*pi*x);
b = @(t,x) (25*pi^2-1)*exp(-t)*cos(5*pi*x);

% grid
N = 30;
x(:,1) = linspace(-1,1,N+1);

% leave off 1 point so initial condition is periodic
% (doesn't have a duplicate point)
x(end) = [];
uWithMatrix = uRef(0,x);
uNoMatrix = uRef(0,x);

dx = diff(x(1:2));
dt = dx.^2/2;

%Iteration matrix:
e = ones(N,1);
A = spdiags([e -2*e e], -1:1, N, N);
A(N,1) = 1;
A(1,N) = 1;
A = A/dx^2;

%indices (left, center, right) for second order centered difference
iLeft = [numel(x), 1:numel(x)-1]';
iCenter = (1:numel(x))';
iRight = [2:numel(x), 1]';

%plot
figure(1)
clf
hold on
h0=plot(x,uRef(0,x),'k--','linewidth',2);
h1=plot(x,uWithMatrix);
h2=plot(x,uNoMatrix,'o');
ylim([-1.2, 1.2])
legend('Analytical solution','Matrix solution','Matrix-free solution')
ht = title(sprintf('Time t = %0.2f',0));
xlabel('x')
ylabel('u')
drawnow

for t = 0:dt:1
    uWithMatrix = uWithMatrix + dt*( A*uWithMatrix + b(t,x) );
    uNoMatrix = uNoMatrix + dt*(  ( uNoMatrix(iLeft) ...
                                - 2*uNoMatrix(iCenter) ...
                                  + uNoMatrix(iRight) )/dx^2 ...
                                + b(t,x) );
    set(h0,'ydata',uRef(t,x))
    set(h1,'ydata',uWithMatrix)
    set(h2,'ydata',uNoMatrix)
    set(ht,'String',sprintf('Time t = %0.2f',t))
    drawnow
end

初始条件图

t = 0.5时的溶液图

t = 1.0时的溶液图

t = 2.0时的溶液图

— 道格·利平斯基
source

1

简便的解决方案！！万一有人在这里需要Python的实现

— ilciavo 2015年

x

$x$

@ bela83您是正确的，除了初始条件外，无需指定其他任何内容。这样做将导致系统超额确定。您需要做的就是在间隔的终点附近稍加注意，以确保您正确地定期包裹东西。有许多有效的方法可以做到这一点。

— Doug Lipinski 2015年

-1

根据这个你应该施加周期性边界条件为：

u (0, t) = u (1, t) u_{x} (0, t) = u_{x} (1, t)

$\begin{equation} u(0, t) = u(1, t) \\ u_x(0, t) = u_x(1, t) \end{equation}$

使用反向欧拉隐式离散热方程的一种方法是

\frac{u^{n + 1} - u_{n}}{Δ t} = \frac{u_{i + 1}^{n + 1} - 2 u_{i}^{n + 1} + u_{i + 1}^{n + 1}}{Δ x^{2}}

$\begin{equation} \frac{u^{n+1}-u_{n}}{\Delta t}= \frac{u^{n+1}_{i+1}-2u^{n+1}_{i}+u^{n+1}_{i+1}}{\Delta x^2} \end{equation}$

解方程组

[\begin{matrix} I - \frac{Δ t}{Δ x^{2}} A \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{1}^{n + 1} \\ u_{1}^{n + 1} \\ ⋮ \\ u_{N}^{n + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{1}^{n} \\ u_{2}^{n} \\ ⋮ \\ u_{N}^{n} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_1 \\ \vdots \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^n_1 \\ u^n_2 \\ \vdots \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$

A = [\begin{matrix} - 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & - 2 \end{matrix}]

$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 0 & 1 & -2& 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1& -2 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 & -2 & \ldots & 0 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \ddots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots &0 &1 &-2 \end{bmatrix} \end{equation}$

$u_{0}$ $u_{N+1}$

u_{1} - u_{N} = 0 \frac{u_{2} - u_{0}}{2 Δ x} - \frac{u_{N + 1} - u_{N - 1}}{2 Δ x} = 0

$\begin{equation} u_1 - u_{N} = 0 \\ \frac{u_{2}-u_{0}}{2 \Delta x} - \frac{u_{N+1}-u_{N-1}}{2 \Delta x} = 0 \end{equation}$

根据2.11节LeVeque，您可以得到二阶精度。 $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & I - \frac{Δ t}{Δ x^{2}} A & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{0}^{n + 1} \\ u_{1}^{n + 1} \\ u_{2}^{n + 1} \\ u_{N}^{n + 1} \\ u_{N + 1}^{n + 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ u_{1}^{n} \\ u_{2}^{n} \\ u_{N}^{n} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 0 & -1 \\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & I-\frac{\Delta t}{\Delta x^2}A & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0\\ 0 & & & & & & & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u^{n+1}_{0}\\ u^{n+1}_1 \\ u^{n+1}_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^{n+1}_{N} \\ u^{n+1}_{N+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ u^n_1 \\ u^n_2 \\ \\ \\ \\ \\ u^n_{N} \end{bmatrix} \end{equation}$

这将为您提供N + 2个方程式和N + 2个未知数。

您还可以摆脱第一个进入方程式和幻像元的系统，然后得出一个由N个方程式和N个未知数组成的系统。

— 伊尔恰沃
source

u_{- 1}

$u_{-1}$

u_{N}

$u_N$

u_{N}

$u_N$

] 0, 1 [

$]0,1[$

x_{k} = \frac{k}{N + 1}

$x_k=\frac{k}{N+1}$

x_{N} = \frac{N}{N + 1}

$x_N=\frac{N}{N+1}$

N

$N$

u_{0}

$u_0$

u_{N - 1}

$u_{N-1}$

u_{- 1}

$u_{-1}$

u_{N}

$u_{N}$

u_{1}

$u_1$

u_{N}

$u_N$

u_{0}

$u_0$

u_{N + 1}

$u_{N+1}$

u_{0} = u_{N + 1}

$u_0=u_{N+1}$

N + 1

$N+1$

u_{x}

$u_x$

u (0, t) = u (1, t)

$u(0,t)=u(1,t)$

u_{x} (0, t) = u_{x} (1, t)

$u_x(0,t)=u_x(1,t)$

1

u1 = uN给您的系统增加了一个额外的限制（等式u1-uN = 0）

— ilciavo 2015年