加权SVD问题？

给定两个矩阵和，我想找到向量和，使得以矩阵形式，我试图最小化的Frobenius范数 $A$ $B$ $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

。

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

通常，我想以的形式找到多个单位向量和。其中为正实系数。 $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$

s_{i}

$s_i$

当时，这等效于奇异值分解（SVD）。 $(B)_{ij} = 1$

有人知道这个问题叫什么吗？有没有像SVD这样的著名算法来解决此类问题？

（从math.SE迁移）

linear-algebra matrix reference-request

— 记忆
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我相信这是广义SVD。Wikipedia条目不是很详细，因此您应该检查链接的源。特别是，此Google图书链接的第466页可能会有所帮助。

— 2012年

x

$x$

y

$y$

在广义SVD中，B不必是对角线或对称的。我提供的两个链接都表明A和B可以分别是维度为M-by-N和P-by-N的一般复值矩阵。

— 2012年

感谢@EMS的建议。如果您能详细说明连接，将不胜感激。

— 2012年

这与广义的SVD截然不同。

如果B是一个正矩阵，则可以使用我的软件包BIRSVD http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/

http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf中描述该方法的文章也提供了参考资料，您可以考虑对其进行文献检索。

— 阿诺德·纽迈耶
source

啊，将问题转换为加权的低秩近似！非常感谢！

— 2012年

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

是。这为您的问题起了一个好名字。如何解决是另一回事。这不是一个标准问题，并且找到一种既快速又可靠的算法是非常棘手的。

— 阿诺德·纽迈耶

— JuanPi '16