关于奇异值分解算法的最新技术水平是什么？

我正在研究仅标头的矩阵库，以在尽可能简单的程序包中提供一定程度的线性代数功能，并且我试图调查当前的最新技术水平：计算a的SVD复矩阵。

我正在进行两阶段分解，即对角化，然后进行奇异值计算。现在，我正在使用Householder方法进行双角化（我相信LAPACK也使用该方法），而且我认为这与当前的方法一样好（除非有人知道算法）为了它..）。 $\mathcal{O}(N^2)$

奇异值的计算在我的清单上是下一个，对于执行此操作的通用算法，我有些不了解。我在这里读到，研究正在朝着一种逆迭代方法的方向发展，该方法可以保证正交性复杂性。我很想听听有关该消息或其他进展。$\mathcal{O}(N)$

对于部分svds，“随机化算法”最近变得非常流行。可以在此处下载仅标头的实现：http : //code.google.com/p/redsvd/

有关当前方法的概述，请参见：http : //arxiv.org/abs/0909.4061

对于完整的svd，我不确定您是否可以做得比Householder更出色。

我在这里读到，研究正在朝着一种逆迭代方法的方向发展，该方法可以保证正交性复杂性。我很想听听有关该消息或其他进展。$\mathcal{O}(N)$

（我只想发表一些评论，因为我没有时间写出详细信息，但是对于评论框来说，它显得很大。）

我相信这将是Dhillon和Parlett 的MRRR（多个相对健壮的表示形式）算法。这源于费尔南多（Fernando）的先前工作，而后者又受到吉姆·威尔金森（Jim Wilkinson）在其关于特征值问题的巨著中提出的问题的启发。获得奇异向量的“逆迭代”部分植根于Fernando的“扭曲因式分解”概念，该概念利用分解矩阵到和分解。ü d ù$\mathbf L\mathbf D\mathbf L^\top$$\mathbf U\mathbf D\mathbf U^\top$

另一方面，该算法的“奇异值”部分来自（偏移的）微商商差（dqd（s））算法，该算法是Fernando，Parlett，Demmel和Kahan先前工作的结晶（启发） （来自Heinz Rutishauser）。

如您所知，SVD方法通常在从双角矩阵获得奇异值之前先进行双角分解。不幸的是，我对当前最好的前端对角线分解方法没有太了解。最后我检查了一下，通常的方法是从带有列旋转的QR分解开始，然后对三角形因子适当地应用正交变换，最终获得双角分解。

我了解到我对细节一无所知；访问图书馆后，我将尝试进一步充实这个答案...

有PROPACK和nu-TRLan库。

http://soi.stanford.edu/~rmunk/PROPACK/

http://crd-legacy.lbl.gov/~kewu/trlan/