将Runge-Kutta方法应用于二阶ODE

如何用Runge-Kutta第四阶代替Euler方法来确定自由落体运动的重力大小不是恒定的（例如，从地面10000 km处自由落体）？

到目前为止，我通过欧拉方法编写了简单的积分：

while()
{
    v += getMagnitude(x) * dt;
    x += v * dt;
    time += dt;
}

x变量表示当前位置，v表示速度，getMagnitude（x）返回x位置的加速度。

我尝试实现RK4：

while()
{
    v += rk4(x, dt) * dt; // rk4() instead of getMagintude()
    x += v * dt;
    time += dt;
}

rk4（）函数体在哪里：

inline double rk4(double tx, double tdt)
{
   double k1 = getMagnitude(tx);
   double k2 = getMagnitude(tx + 0.5 * tdt * k1);
   double k3 = getMagnitude(tx + 0.5 * tdt * k2);
   double k4 = getMagnitude(tx + tdt * k3);

   return (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6.0;
}

但是出了点问题，因为我只使用RK4（加速）进行了一次集成。使用RK4积分速度没有意义，因为它与v * dt相同。

您能告诉我如何使用Runge-Kutta积分求解二阶微分方程吗？我是否应该通过计算k1，l1，k2，l2 ... l4系数来实现RK4？我怎样才能做到这一点？

对于如何将多步骤（例如Runge-Kutta）方法应用于二阶或更高阶ODE或ODE系统，似乎存在很多困惑。一旦理解，该过程将非常简单，但是如果没有很好的解释，该过程可能并不明显。以下方法是我发现最简单的方法。

$F = m\ddot{x}$

$v$$x$k1k4$(x,v)$

while (t<TMAX)
    k1 = RHS( t, X );
    k2 = RHS( t + dt / 2, X + dt / 2 * k1 );
    k3 = RHS( t + dt / 2, X + dt / 2 * k2 );
    k4 = RHS( t + dt, X + dt * k3 );
    X = X + dt / 6 * ( k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4 );
    t = t + dt;
end

X$=(x,v)$RHS( t, X )$(\dot{x}(t),\dot{v}(t))$

不幸的是，C ++本身并不支持这种向量操作，因此您需要使用向量库，使用循环或手动写出单独的部分。在C ++中，您可以std::valarray用来达到相同的效果。这是一个恒定加速的简单工作示例。

#include <valarray>
#include <iostream>

const size_t NDIM = 2;

typedef std::valarray<double> Vector;

Vector RHS( const double t, const Vector X )
{
  // Right hand side of the ODE to solve, in this case:
  // d/dt(x) = v;
  // d/dt(v) = 1;
  Vector output(NDIM);
  output[0] = X[1];
  output[1] = 1;
  return output;
}

int main()
{

  //initialize values

  // State variable X is [position, velocity]
  double init[] = { 0., 0. };
  Vector X( init, NDIM );

  double t = 0.;
  double tMax=5.;
  double dt = 0.1;

  //time loop
  int nSteps = round( ( tMax - t ) / dt );
  for (int stepNumber = 1; stepNumber<=nSteps; ++stepNumber)
  {

    Vector k1 = RHS( t, X );
    Vector k2 = RHS( t + dt / 2.0,  X + dt / 2.0 * k1 );
    Vector k3 = RHS( t + dt / 2.0, X + dt / 2.0 * k2 );
    Vector k4 = RHS( t + dt, X + dt * k3 );

    X += dt / 6.0 * ( k1 + 2.0 * k2 + 2.0 * k3 + k4 );
    t += dt;
  }
  std::cout<<"Final time: "<<t<<std::endl;
  std::cout<<"Final position: "<<X[0]<<std::endl;
  std::cout<<"Final velocity: "<<X[1]<<std::endl;

}