如何在双曲空间中采样点？

庞加莱上半空间模型中的双曲空间看起来像普通的 $\Bbb R^n$ 但是角度和距离的概念以相对简单的方式变形了。在欧几里德空间我可以均匀地在球磨机中在几个方面，例如，通过生成采样的随机点 $n$ 独立高斯样本以获得一个方向，并分别进行采样径向坐标 $r$ 通过均匀采样 $s$ 从 $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ ，其中 $R$ 是半径，设置 $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ 。在双曲上半平面中，一个球碰巧仍然是一个球，只有其中心不会成为欧几里得度量的中心，因此我们可以这样做。

如果我们要根据非均匀分布进行采样，但仍以各向同性的方式（例如高斯分布）进行采样，这似乎并不容易。在欧几里得空间中，我们可以为每个坐标生成一个高斯样本（这仅适用于高斯分布），或者等效地生成多维高斯样本。是否有直接方法将此样本转换为双曲空间中的样本？

一种替代方法是首先生成一个方向均匀分布的方向（例如，从 $n$ 高斯样本中），然后生成一个用于径向分量的高斯样本，最后在指定方向上针对指定长度在指数映射下生成图像。一种变化是仅采用欧几里得高斯样本并将其映射在指数映射下。

我的问题：

在双曲空间中具有给定的均值和标准差的高斯样本的最佳有效方法是什么？
我上面描述的方式能否提供所需的采样？
有人解决这个公式了吗？
如何将其推广到其他指标和其他概率分布？

提前致谢。

编辑

我只是意识到，即使在统一抽样的情况下，这些问题仍然存在。即使球是球，也不能用球上的常数函数来描述均匀分布。

— et
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@是，谢谢您的评论。在每个拓扑空间中，都有由拓扑生成的Borel sigma代数。黎曼度量标准为您提供了体积的概念。如果总体积是有限的，则可以将其归一化以给出概率分布，或更普遍地说，它可以直接为您提供可测量的有限体积集上的均匀概率分布。由于您具有几何结构，包括测地线和弧长的概念，因此您还可以通过概率密度来定义高斯分布，该概率密度会随着距离的衰减而衰减，就像在欧几里得空间中一样

— -doetoe

@是的，在球模型中围绕球的中心进行采样，然后通过等轴测图进行传输可能会更容易，至少欧几里德旋转和双曲旋转围绕该中心重合。如果这确实是最有效的，则问题将减少到如何根据双曲线度量的正态分布在磁盘模型的中心附近进行采样。

— doetoe

您应该能够修改Mark Girolami的黎曼流形MCMC来在此处生成样本。但这可能是矫over过正。您执行MCMC，但是通过从当前点拍摄测地线来生成建议。

— Nick Alger

@NickAlger听起来很有趣，您有链接吗？

— doetoe

这是他的主要论文。他们将对平面空间上的非均匀分布进行采样的问题转换为对歧管上的均匀分布进行采样的问题，而从流形上的均匀分布开始。rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/...

— 尼克阿尔及尔

我正在为自己做这件事。我认为最适合高斯的类似物是双曲空间中的热核。幸运的是，以前已经弄清楚了这一点：https : //www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf（也可以在伦敦数学协会的公告中找到）。

如果使用标准的衰变（ $e^{-dist^2/constant}$ ），我期望的总质量将是大于1，由于指数的体积增加与半径为双曲空间。

为了在给定的球（或其他紧凑型球具）上均匀采样，可以使用以下体积形式进行剔除采样：

{（ \frac{2}{1个 - | | X | |^{2}} ）}^{ñ} d X_{1个} \dots d X_{ñ}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

这是半径3的球以原点为中心的统一样本：

如果需要，我很乐意说更多。我只是以为我会提出这个建议，因为至少在过去，人们对此有明显的兴趣。

— 基恩
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谢谢！我还没有时间研究喜欢的文章，但看起来很有趣而且

— 很有意义

σ / 2

$\sigma / 2$

常数pi只是欧几里得空间中的一个常数。pi的值在其他几何形状中是不同的。参数pi改变了高斯条件下的概率质量。参数pi用于归一化概率。我才刚刚开始研究这个。

我前段时间得出结论，随着sigma的数量增加，空间从双曲线变为欧几里得，再到球形。我很高兴通过参数p讨论了每个空间和pi作为Lp空间的函数的圆的讨论。

— 戴维·洛克
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