如何激发Krylov加速的Multigrid（使用MG作为前提条件）？

通过构造初始猜测值并对重复以下步骤，直到收敛为止，可以使用Multigrid（MG）求解线性系统： $Ax=b$ $x_0$ $i=0,1..$

计算残差 $r_i = b-Ax_i$
应用多重网格周期以获得近似值，其中。 $\Delta x_i \approx e_i$ $Ae_i = r_i$
更新 $x_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i$

多重网格周期是应用于以产生的平滑，内插，约束和精确的粗网格求解操作的序列。这通常是一个V周期或W周期。这是一个线性运算，因此我们写成。 $r_i$ $\Delta x_i$ $\Delta x_i = B r_i$

可以将这一过程解释为预处理的Richardson迭代。也就是说，我们更新。 $x_{i+1} \gets x_i + B r_i$

Richardson迭代是一种典型的Krylov子空间方法，建议使用多重网格循环对其他Krylov子空间方法进行预处理。有时将其称为使用Krylov方法的“加速”多重网格，或者可以将其视为选择Krylov方法的前提条件。

扩展上述算法的另一种方法是采用完全多重网格（FMG）。简要说明请参见此答案。

在什么情况下，Krylov加速的MG优于MG或FMG？

— 帕特里克·萨南
source

（F）MG非常敏感，如果一种模式无法通过较平滑的或两级校正适当地衰减，则整个过程将停止。克雷洛夫方法可能有助于抑制这些有问题的模式。据我所知，它主要是由健壮性驱动的。

— 克里斯，2015年

在某些情况下，（F）MG提供具有最佳属性的算法。例如，经过适当调整的FMG可以解决少量“工作单元”中的一些椭圆问题，其中将工作单元定义为表达问题本身所需的计算工作量-在这种情况下，形成残差最好的网格上的。这是一种高效的算法（因此难以克服），它是HPC基准的基础，该基准旨在测量超级计算机解决现实物理问题（HPGMG）的最大能力。如果可以使用这种方法，则建议使用该方法。 $b-Ax$

但是，在许多实际情况下，没有使用最佳或有效的多重网格方法。这可能是因为

对于给定的问题，这种方法是未知的或不可用的
平滑器和网格间的运算符不足以使教科书趋同
粗网格求解器不精确

在这些情况下，解决方案可能会因误差而降低，而误差不会因多网格循环而降低。但是，如果此错误包含在低维子空间中，则Krylov方法可以通过少量迭代来解决此错误，从而在不完善的多重网格求解之后“清除”。也就是说，如果具有少量外在特征值，则Krylov方法应该能够捕获相应的特征空间。 $BA$

请注意，选择使用次优方法可能会导致“更便宜”的多重网格循环，以至于Krylov加速得到回报。也就是说，可能存在问题（和计算系统），其中Krylov加速的MG可能胜过MG。我想找到一个具体的例子。

（感谢上面的@chris和Matt Knepley在教程中提到了上面的一些内容）

— 帕特里克·萨南
source