尼采法在数值分析中的总体思路是什么？

我知道Nitsche方法是一种非常吸引人的方法，因为它允许在不使用Lagrange乘数的情况下考虑Dirichlet类型的边界条件或以较弱的方式与摩擦边界条件接触。它的优点是，将实现实现与模型相关，这是将Dirichlet边界条件类似于Neumann边界条件转换为弱项的优势。

但是，这对我来说似乎太笼统了。您能给我更具体的想法吗？一个简单的例子将不胜感激。

— Anh-Thi DINH
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我认为我不太理解您的问题。您正确地确定了发明该方法的原因（以弱形式处理Dirichlet条件）。您的意思是“但是，这似乎对我来说太笼统了。您能为我提供这种方法的更具体的想法吗？一个简单的例子很昂贵。”

— Wolfgang Bangerth，2015年

@WolfgangBangerth：我需要一个（简单的）示例来实现这个想法。对我来说太抽象了。

— Anh-Thi DINH 2015年

@Oliver：我假设您的意思是“昂贵”，如“亲爱的”，“珍贵的”，即“欣赏”？我拥有改变这个词的自由；如果您不同意，请随时回滚编辑。

— 克里斯蒂安·克拉森2015年

Nitsche的方法与不连续的Galerkin方法有关（实际上，正如Wolfgang指出的，它是这些方法的前身），并且可以类似的方式派生。让我们看一个简单的问题，泊松方程：我们现在正在寻找一种变体公式

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} - Δ u & = f on Ω, \\ u & = g on \partial Ω . \end{aligned} \end{matrix}

$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$

由（弱）溶液满足（即，一致）， $u\in H^1(\Omega)$
在对称和， $u$ $v$
接受唯一解（这意味着双线性形式是强制性的）。

我们开始照常通过取微分方程的强形式，由测试函数乘以和分部积分法。与右手侧开始，我们得到 $v\in H^1(\Omega)$ 其中，在最后一个方程式中，我们在边界上添加了有效的零。重新排列的条款单独的线性和双线性形式现在给出对于被满足的溶液对称双线性形式的变分方程的。

\begin{aligned} (f, v) = (- Δ u, v) & = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s \\ = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} (u - g) \partial_{ν} v d s \end{aligned}

$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$

0 = u - g

$0=u-g$

u \in H^{1} (Ω)

$u\in H^1(\Omega)$

(1)

$(1)$

双线性形式然而，不强制的，因为你不能从下面的约束它由（因为我们没有任意任何边界条件，我们不能使用庞加莱的不等式一如既往-这意味着我们可以在不更改双线性形式的情况下将范数的部分任意增大。因此，我们需要添加另一个（对称）的术语，对于真正的解决方案消失： $u=v$ $c\|v\|_{H^1}^2$ $v\in H^1(\Omega)$ $L^2$ 对于足够大的。这导致（对称的，一致的，强制性的）弱形式：查找，使得 $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$ $\eta>0$ $u\in H^1(\Omega)$

(\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} u \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} u v d s = - \int_{\partial Ω} g \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} g v d s + \int_{Ω} f v d x for all v \in H^{1} (Ω) .

$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$

$u,v\in H^1(\Omega)$ $u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$ $\eta$ $ch^{-1}$ $c>0$

（这不是Nitsche的原始推导，该推导早于不连续的Galerkin方法，并始于等效的最小化问题。实际上，他的原始论文根本没有提及相应的双线性形式，但是您可以在Freund和Stenberg中找到它，关于弱二阶问题的边界条件，《流体中的第九个国际会议有限元论文集》，威尼斯，1995年。M。Morandi Cecchi等人，编辑，第327-336页。）

— 克里斯蒂安·克拉森
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您的第一句话没有错，但在历史上是不准确的：Nitsche的想法首先出现，并启发了不连续的Galerkin方法的发展。话虽如此，这并不能脱离本来很好的答案。

— Wolfgang Bangerth，2015年

@WolfgangBangerth您当然是正确的；没有暗示因果关系，只有关联。但是，重要的是要赋予适当的归属，特别是对那些原本会短途走动的人。我将进行编辑以使其清楚。

— Christian Clason

问题：1.在添加附加边界项之前，您能否详细说明矫顽力问题？2.这里的“不合格”是什么意思？3.我以为我读到稳定性是双线性形式的矫顽力的自动结果。尽管这种解释是很好的（实际上我唯一能找到的解释），但有人可以链接到该方法（和/或其派生）的另一种整体解释，只是为了比较吗？即使我可以找到原始纸张，也不确定会有很大帮助。Freund和Stenberg的论文只给出了简短的摘要和一些特定的摘要

— Nights

V_{h}

$V_h$

H_{g}^{1} (Ω)

$H_g^1(\Omega)$

@Nights我已经编辑了答案以解决您的问题（显然，第二段除外）。

— Christian Clason