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使用零件积分来导出FEM离散化的弱形式的目的是什么？
当从PDE的强形式转换为FEM形式时，似乎总是应该首先说明变体形式来做到这一点。为此，您可以将强形式与某个（Sobolev）空间中的元素相乘，然后在您的区域中进行积分。这我可以接受。我不明白的是为什么还必须使用格林的公式（一次或多次）。 我主要从事泊松方程的研究，因此，如果我们以均质Dirichlet边界条件为例，即 −∇2uu=f,u∈Ω=0,u∈∂Ω−∇2u=f,u∈Ωu=0,u∈∂Ω \begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align} 然后声称形成变分形式的正确方法是 ∫Ωfvdx⃗ =−∫Ω∇2uvdx⃗ =∫Ω∇u⋅∇vdx⃗ −∫∂Ωn⃗ ⋅∇uvds⃗ =∫Ω∇u⋅∇vdx⃗ .∫Ωfvdx→=−∫Ω∇2uvdx→=∫Ω∇u⋅∇vdx→−∫∂Ωn→⋅∇uvds→=∫Ω∇u⋅∇vdx→. \begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align} 但是，是什么使我无法在第一行上使用表达式，这难道不是一种可以用来获取FEM形式的变体形式吗？它不是对应于双线性和线性形式和吗？这里的问题是，如果我使用线性基函数（形状函数），那么我会遇到麻烦，因为我的刚度矩阵将是空矩阵（不可逆）？但是，如果我使用非线性形状函数怎么办？我仍然需要使用格林公式吗？如果我不必：建议这样做吗？如果没有，那么我是否会有一个变式但不弱的公式？b(u,v)=(∇2u,v)b(u,v)=(∇2u,v)b(u,v)=(\nabla^2 u, v)l(v)=(f,v)l(v)=(f,v)l(v)=(f, v) 现在，假设我有一个带有高阶导数的PDE，这是否意味着有许多可能的变分形式，具体取决于我使用格林公式的方式？它们都导致（不同的）FEM近似吗？