使用零件积分来导出FEM离散化的弱形式的目的是什么?


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当从PDE的强形式转换为FEM形式时,似乎总是应该首先说明变体形式来做到这一点。为此,您可以将强形式与某个(Sobolev)空间中的元素相乘,然后在您的区域中进行积分。这我可以接受。我不明白的是为什么还必须使用格林的公式(一次或多次)。

我主要从事泊松方程的研究,因此,如果我们以均质Dirichlet边界条件为例,即

2u=f,uΩu=0,uΩ

然后声称形成变分形式的正确方法是

Ωfvdx=Ω2uvdx=ΩuvdxΩnuvds=Ωuvdx.

但是,是什么使我无法在第一行上使用表达式,这难道不是一种可以用来获取FEM形式的变体形式吗?它不是对应于双线性和线性形式和吗?这里的问题是,如果我使用线性基函数(形状函数),那么我会遇到麻烦,因为我的刚度矩阵将是空矩阵(不可逆)?但是,如果我使用非线性形状函数怎么办?我仍然需要使用格林公式吗?如果我不必:建议这样做吗?如果没有,那么我是否会有一个变式但不弱的公式?b(u,v)=(2u,v)l(v)=(f,v)

现在,假设我有一个带有高阶导数的PDE,这是否意味着有许多可能的变分形式,具体取决于我使用格林公式的方式?它们都导致(不同的)FEM近似吗?


Answers:


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简短答案:

不,您不必对某些FEM进行集成。但就您而言,您必须这样做。


长答案:

  • 假设是有限元解决方案。如果您选择分段线性多项式作为基础,那么在其上使用将会得到1阶分布(请考虑对Heaviside阶跃函数进行导数计算),以及的积分仅当将作为对偶对而不是内积时,与乘运算才有意义。您都不会得到一个空矩阵,Riesz表示定理说中有一个元素的元素可以通过的内积来表征对偶对: Δ - Δ ü ħħ - 1 v 大号2 φ - Δ ü ħħ 1 0 ħ 1- Δ ü ħv ħ - 1ħ 1 0 = ∫ Ω▿ φ - Δ ù ħv 在内积  ħ 1ü ^ h ŤuhΔΔuhH1vL2φΔuhH01H1

    Δuh,vH1,H01=ΩφΔuhvinner product in H1.
    逐个元素地将阐明此对偶对:对于,此三角剖分中的一个元素 这告诉您应该包含元素间通量在其对偶对表示中跳跃,请注意,每个元素边界上的积分也是和之间的对偶uhT
    Ωuhv=T(TΔuhv+TuhnvdS),
    ΔuhH1/2H1/2。即使您使用每个元素上都没有消失的二次方,由于这种元素间通量跳跃的存在,您仍然不能将为内积。Δ(Δu,v)
  • 零件的积分可以追溯到使用光滑函数的椭圆pde 的Sobolev理论,其中空间都是类型积分范式下的光滑函数的闭合。然后人们说我们可以执行内积的最小规律性是什么。还铭记的是一个一定条件下-regular弱溶液 在 -strong溶液(椭圆规律性)。但是分段连续线性多项式不是,从这个角度来看,使用取内积也没有任何意义。 w ^ ķ p ħ 1 ħ 2 ħ 2 Δ ù ħWk,pWk,pH1H2H2Δuh

  • 对于某些FEM,您不必进行部分集成。例如,最小二乘有限元。将二阶pde编写为一阶系统: 然后您要最小化最小二乘函数: 与Ritz-Galerkin泛函具有相同的精神,即在有限元素空间不需要零件集成。

    {σ=u,σ=f.
    J(v)=σ+uL2Ω2+σfL2Ω2,

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从技术上讲,没有什么能阻止您这样做的,但是,当您按部件进行集成时,您将获得更大的灵活性,因为它们无需具有正则性(非IBP公式要求)。您建议的线性元素通常在元素之间具有连续性,因此不能在。此外,IBP公式是对称的,也具有一些自身的优点。2H2H2


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您是说线性形状函数为FEM公式提供了不在解决方案,因为对该FEM解决方案进行两次微分(弱)给出了增量分布的总和,而在却没有?这是否意味着对于高于2的pde:s,我必须使用高于1的形状函数(至少在测试空间和试验空间相同的情况下?)?大号2H2L2
2013年

1
您所说的基本上是正确的。至于比第二阶PDE您不高必然要使用更高的规律性空格作为写下混合制剂(参见林书豪的回答)可以提供帮助。您也可以使用其他技术,例如跳罚,来避免这种困难。但是,对于经典的FEM答案,是的,您将需要更高的规律性。
Reid.Atcheson 2013年

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让我强调对称的重要性。如果微分算子是自伴的,我希望最终得到一个对称矩阵。如果没有部件集成,情况就不会如此。
Stefano M

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计算收益是我添加此收益的主要思想,但对称性在理论上也有很强的收益(除了更容易证明的事实,即使离散化是非对称的,这种事实在椭圆情况下也仍然适用)?
Reid.Atcheson

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此页面上已经有很好的答案,但是仍然有一个(小)不足之处。

OP问:

现在,假设我有一个带有高阶导数的PDE,这是否意味着有许多可能的变分形式,具体取决于我使用格林公式的方式?它们都导致(不同的)FEM近似吗?

当您具有Neumann类型的边界条件时,按部分积分(以正确的方式进行)很重要。实际上,通过ibp,您可以在变型公式中考虑到Neumann bc。Neumann bc的形式取决于零件的集成方式,请参见。这个答案对集成在线性伸缩部。因此,即使对于二阶椭圆PDE,也必须以给定的方式进行零件积分,以恢复对Neumann或混合边界条件有效的变式。(当然,这与您通过FEM离散化的事实无关)。

在数学物理学中,Neumann bc具有明确定义的含义(热通量,应力...),为了保持对结果的正确解释,部件的积分很重要。即使对于齐次Dirichlet条件和FEM,这也是正确的,因为如果我们使用Lagrange乘数方法施加bc,则该乘数成为物理量,例如集中的通量或力。

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