使用零件积分来导出FEM离散化的弱形式的目的是什么？

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当从PDE的强形式转换为FEM形式时，似乎总是应该首先说明变体形式来做到这一点。为此，您可以将强形式与某个（Sobolev）空间中的元素相乘，然后在您的区域中进行积分。这我可以接受。我不明白的是为什么还必须使用格林的公式（一次或多次）。

我主要从事泊松方程的研究，因此，如果我们以均质Dirichlet边界条件为例，即

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

然后声称形成变分形式的正确方法是

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

但是，是什么使我无法在第一行上使用表达式，这难道不是一种可以用来获取FEM形式的变体形式吗？它不是对应于双线性和线性形式和吗？这里的问题是，如果我使用线性基函数（形状函数），那么我会遇到麻烦，因为我的刚度矩阵将是空矩阵（不可逆）？但是，如果我使用非线性形状函数怎么办？我仍然需要使用格林公式吗？如果我不必：建议这样做吗？如果没有，那么我是否会有一个变式但不弱的公式？ $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ $l(v)=(f, v)$

现在，假设我有一个带有高阶导数的PDE，这是否意味着有许多可能的变分形式，具体取决于我使用格林公式的方式？它们都导致（不同的）FEM近似吗？

pde finite-element elliptic-pde

— 基督教
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相关：scicomp.stackexchange.com/questions/667/...

— 保罗

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简短答案：

不，您不必对某些FEM进行集成。但就您而言，您必须这样做。

长答案：

假设是有限元解决方案。如果您选择分段线性多项式作为基础，那么在其上使用将会得到1阶分布（请考虑对Heaviside阶跃函数进行导数计算），以及的积分仅当将作为对偶对而不是内积时，与乘运算才有意义。您都不会得到一个空矩阵，Riesz表示定理说中有一个元素的元素可以通过的内积来表征对偶对： $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ 逐个元素地将阐明此对偶对：对于，此三角剖分中的一个元素这告诉您应该包含元素间通量在其对偶对表示中跳跃，请注意，每个元素边界上的积分也是和之间的对偶 $u_h$ $T$ $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ 。即使您使用每个元素上都没有消失的二次方，由于这种元素间通量跳跃的存在，您仍然不能将为内积。 $\Delta$ $(\Delta u, v)$
零件的积分可以追溯到使用光滑函数的椭圆pde 的Sobolev理论，其中空间都是类型积分范式下的光滑函数的闭合。然后人们说我们可以执行内积的最小规律性是什么。还铭记的是一个一定条件下-regular弱溶液是在 -strong溶液（椭圆规律性）。但是分段连续线性多项式不是，从这个角度来看，使用取内积也没有任何意义。 $W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
对于某些FEM，您不必进行部分集成。例如，最小二乘有限元。将二阶pde编写为一阶系统：然后您要最小化最小二乘函数：与Ritz-Galerkin泛函具有相同的精神，即在有限元素空间不需要零件集成。
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— 曹树豪
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从技术上讲，没有什么能阻止您这样做的，但是，当您按部件进行集成时，您将获得更大的灵活性，因为它们无需具有正则性（非IBP公式要求）。您建议的线性元素通常在元素之间具有连续性，因此不能在。此外，IBP公式是对称的，也具有一些自身的优点。 $H^2$ $H^2$

— 里德·阿切森
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1

您是说线性形状函数为FEM公式提供了不在解决方案，因为对该FEM解决方案进行两次微分（弱）给出了增量分布的总和，而在却没有？这是否意味着对于高于2的pde：s，我必须使用高于1的形状函数（至少在测试空间和试验空间相同的情况下？）？

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— 2013年

1

您所说的基本上是正确的。至于比第二阶PDE您不高必然要使用更高的规律性空格作为写下混合制剂（参见林书豪的回答）可以提供帮助。您也可以使用其他技术，例如跳罚，来避免这种困难。但是，对于经典的FEM答案，是的，您将需要更高的规律性。

— Reid.Atcheson 2013年

2

让我强调对称的重要性。如果微分算子是自伴的，我希望最终得到一个对称矩阵。如果没有部件集成，情况就不会如此。

— Stefano M

1

计算收益是我添加此收益的主要思想，但对称性在理论上也有很强的收益（除了更容易证明的事实，即使离散化是非对称的，这种事实在椭圆情况下也仍然适用）？

— Reid.Atcheson

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此页面上已经有很好的答案，但是仍然有一个（小）不足之处。

OP问：

现在，假设我有一个带有高阶导数的PDE，这是否意味着有许多可能的变分形式，具体取决于我使用格林公式的方式？它们都导致（不同的）FEM近似吗？

当您具有Neumann类型的边界条件时，按部分积分（以正确的方式进行）很重要。实际上，通过ibp，您可以在变型公式中考虑到Neumann bc。Neumann bc的形式取决于零件的集成方式，请参见。这个答案对集成在线性伸缩部。因此，即使对于二阶椭圆PDE，也必须以给定的方式进行零件积分，以恢复对Neumann或混合边界条件有效的变式。（当然，这与您通过FEM离散化的事实无关）。

在数学物理学中，Neumann bc具有明确定义的含义（热通量，应力...），为了保持对结果的正确解释，部件的积分很重要。即使对于齐次Dirichlet条件和FEM，这也是正确的，因为如果我们使用Lagrange乘数方法施加bc，则该乘数成为物理量，例如集中的通量或力。

— 斯特凡诺（Stefano M）
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