右侧仅在时的有限元方法的收敛性（泊松方程）

我知道分段线性有限元逼近 $u_h$ 的

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$ 满足

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$ 假设足够光滑并且。

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

问题：如果，我们是否有以下类似的估计，其中两侧都取了一个导数： $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1个} (ü ）} ？

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

你能提供参考吗？

思想：由于我们仍有，因此应该有可能在获得收敛。直观地讲，这甚至可以使用分段常数函数。 $u\in H^1_0(U)$ $L^2(U)$

— 巴纳纳赫
source

我认为你得到

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$ 从标准的尼采技巧

u \in H^{1}

$u \in H^1$ 。您可以在Braess-有限元素中找到它。

— knl

是的，这是标准的Aubin-Nitsche（或对偶性）技巧。这个想法是利用事实 $L^2$ 是它自己的双重空间来写 $L^2$ -norm作为运算符规范

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$ 因此，我们必须估计

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$ 对于任意

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$ 。为此，我们“提起”

u - u_{h}

$u-u_h$ 至

H_{0}^{1}

$H^1_0$ 首先考虑任意

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$ 解决方案

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$ 对偶问题

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ 使用泊松方程的标准正则性，我们知道

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

插入 $v=u-u_h\in H^1_0$ 在 $\eqref{eq1}$ 并对任何有限元（在您的情况下为分段线性）函数使用Galerkin正交性 $w_h$ 得出估计

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$ 因为这适用于所有人

w_{h}

$w_h$ ，如果我们对所有分段线性进行最小化，则不等式仍然成立

w_{h}

$w_h$ 。因此，我们获得

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ 这就是Aubin-Nitsche-Lemma。

下一步是将标准误差估计用于Poisson方程解的最佳有限元逼近。以来 $u$ 只在 $H^1$ ，我们没有比这更好的估计

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$ 但幸运的是，我们可以利用以下事实

w_{ϕ}

$w_\phi$ 右手边有较高的规律性

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$ 代替

H^{- 1}

$H^{-1}$ 。在这种情况下，我们有

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$ 插入

(3)

$\eqref{eq3}$ 和

(4)

$\eqref{eq4}$ 进入

(2)

$\eqref{eq2}$ 现在得出所需的估计值。

（请注意，标准估算要求多项式 $k$ 有限元近似和Sobolev指数 $m$ 真正的解决方案满足 $m<k+1$ ，因此该参数不适用于分段常量（ $k=0$ ）近似值。我们也用过 $u-u_h\in H^1_0$ -即我们有一个符合的近似-对于分段常数不是正确的。）

由于您要求参考：您可以找到一条语句（即使对于负Sobolev空间也是如此） $H^{-s}$ 代替 $L^2$ ）中的定理5.8.3（与定理5.4.8一起）

苏珊C.布伦纳和L.李奇微斯科特，MR 2373954 的有限元方法的数学理论，文本应用数学 ISBN：978-0-387-75933-3。

— 克里斯蒂安·克拉森
source

我要利用我们闪亮的新引文功能：）

— Christian Clason

感谢您的回答，但连续函数未嵌入其中

H_{0}^{1}

$H^1_0$ 是吗

— Bananach

是的，对不起，我在那儿抚摸着-它们很密集，但没有嵌入。对偶参数的工作原理相同，但（仅适用于

H_{0}^{1}

$H^1_0$ 和

H^{- 1}

$H^{-1}$ 直）。我将相应地编辑答案。

— Christian Clason

感谢您的广泛更新。而要找到另一个闪亮的引文

— -Bananach

@Praveen我认为您不需要任何理论。简单选择

v_{h}

$v_h$ 恒定为零。

— Bananach