从一组点中选择最分散的点

是否有任何（有效的）算法从一组N个点（M < N）中选择个点的子集，以使它们“覆盖”大部分区域（在大小为M的所有可能子集上）？$M$$N$$M < N$$M$

我假设这些点在2D平面中。

天真的算法很简单，但是在时间复杂度方面却令人望而却步：

for each subset of N points
    sum distance between each pair of points in the subset
    remember subset with the maximum sum

我正在寻找一种更有效甚至近似的方法。

例如，这是其中有一些随机点的平面：

对于，我希望选择以下点：$M=5$

请注意，所选点（红色）分散在整个平面上。

我找到了一篇与该问题有关的文章“ 为视觉跟踪有效地选择空间分布的关键点 ”。但是，这是假定点是加权的。

这是一个大概的解决方案。由于N太大而M太小，该怎么办：

1. 计算N的凸包
2. 从船体中最多选择M个满足最大距离标准的点。
3. 如果步骤2留下少于M个点，则从内部选择1个点，以使其与先前选择的点的距离最大。
4. 重复步骤3，直到选择的点数为M

它的直觉是，由于N >> M，并且您希望点之间的距离尽可能远，所以它们很可能靠近数据的边缘，因此您最好从船体开始，然后迭代从那里开始工作。

同样，从船体开始，您可以将初始搜索从N减少到N ^1/2。

更新

如果上面的步骤3和步骤4花费的时间太长（因为您正在迭代地测试数据集的内部），我想到了另外两个想法来加快问题的解决速度。

1. 随机搜索：假设您在步骤2中在船体上找到了P点。然后从内部随机抽取M - P点。经过X次试验后，选择最佳组合。
2. 模拟退火：计算覆盖数据集的最小边界框（不必与轴对齐，也可以倾斜）。然后在该边界框上定义一组M个均匀分布的网格点。请注意，这些点不一定与您的任何数据集点一致。然后对于每个网格点，在数据集中找到k个最近邻居。遍历每个M x k组合，然后选择满足最大距离标准的组合。换句话说，您正在使用初始网格作为引导程序来查找良好的初始解决方案。

在有大量个点和一个较小子集M被选择的情况下，考虑关于二维连续问题版本的已知知识可能会有所帮助。$N$$M$

L. FejesTóth（“由点集确定的距离之和”，Acta Math。Acad。Sci。Hungar。，7：397-401，1956年）表明，圆上的个点集使成对距离是通过圆上刻有正则M边的顶点实现的。 $M$$M$

随后，他（L. FejesTóth，“人类科学”，Acta Math。Acad。Sci。Hungar。，10：13-19，1959年）提出了更困难的问题，即最大化点的成对距离之和在直径（最大成对距离）为1的平面中。这个问题仍然在一般公开，虽然弗里德里希Pillichshammer给一个上限值，并且它显示出尖锐对于中号= 3 ，4 ，5（“关于在欧几里得平面极值点分布”，ACTA数学Hungarica，98（4）： 2003年3月31日）。$M$$1$$M=3,4,5$

这些少数情况表明，这种极值分布的点将倾向于出现在区域的外围。对于，解决方案是边长为1的等边三角形。对于M = 4，又有三个点形成等边三角形，第四个点位于通过两个点的圆弧的中点，并以第三个点为中心。对于M = 5，解决方案是直径为1的正五边形。这些都没有通过图形的内部呈现点的“散布”。$M=3$$1$$M=4$$M=5$$1$

如果我们希望避免在外围点的选择上占主导地位，那么另一个目标很容易证明是有用的。点之间的最小距离的最大化就是这样的标准。在StackOverflow，Computer Science SE，Math.SE和MathOverflow提出了相关的问题。

$M$$D$$M$$D$

好的，因此您想从欧几里得平面中的给定N个点集中选择M个点，以便所选点的成对距离之和最大，对吗？

标准的本地搜索算法非常快，并且提供了很好的近似值。运行时间在N中为线性，在M中为二次。其近似比为1-4 / M。这意味着该比率随着M的增加而变得更好。例如，对于M = 10，它将获得60％的最佳值，对于M = 50，它将获得92％的最佳值。

该算法还适用于一般维数的欧几里得空间。在这种情况下，问题是NP难题。但是在飞机上，尚不清楚它是否具有NP-hard功能。

来源是本文。希望这可以帮助！最好，阿方索

一种解决方案是：

• 在创建边界矩形$O(n)$

• 使M个人造均匀分布的点在此边界矩形内，有些M比其他困难。在您的情况下，矩形的四个角和中心的一个角

• $O(n(log(n)))$

• $O(m(log(n)))$

$O(n(log(n)))$$\sqrt{M} \in \mathbb{N}$