的建设

P. Oswald 在论文的Biharmonic方程的层次一致有限元方法中声称Clough-Tocher型元素具有$C^1$-连续性，同时是每个三角形上的三次多项式。他没有给出一组明确的基函数，而只是给出了正交点上的标准自由度。

类似地，在《有限元方法的数学理论》第3章中，作者为我们提供了三次Hermite有限元的构造，但他们没有提到三次Hermite元素的连续性。

但是，在本文的微分复数和数值稳定性中，Doulgas Arnold提出了$C^1$/$H^2$-符合离散空间，我们应该使用Hermite五次（或更确切地说是Argyris）有限元，这很难明确表示。

所以这是我的问题：

（1）是否有任何论文提出了明确的公式来 $C^1$/$H^2$三角形或四面体网格上的三维有限元？

（2）分段三次应为以下项的最小多项式要求 $C^1$-连续性？

三次Hermite元素具有连续的法向导数，但不完全 $C^1$连续性。特别是，在远离顶点的两个元素的边界处，法线导数可能不匹配。如果你想吃饱$C^1$连续性，您将不得不使用Argyris元素或Hsieh-Clough-Tucker之类的东西。我建议在Ciarlet的有限元书的第6章中进行讨论。

所需的多项式次数 $C^1$连续性将取决于您的空间维度，但是在2D或3D中，我认为您无法摆脱三次多项式的不足。您可以考虑某种不合格方法，该方法可能允许使用更简单的有限元空间。

我推荐您阅读《三角剖分的样条线》一书。我目前无法找到副本，以为您提供更好的答案，但是我想起了有关多项式所需的多项式的讨论/定理$C^1$空格。如果我没记错的话，赖证明在某些情况下$p=3$ 可以，但是 $p=5$ 总是足够的。

不幸的是，我还记得，赖没有展示如何构建 $C^1$空间，仅在给定三角剖分和样条空间的情况下证明它们存在。获得证明后，他便通过附加的线性约束方程式解决了他的应用，以强制$C^1$ 健康）状况。

您可以参考以下页面以完整了解Argyris的基本功能：FEMList.pdf Wikipedia条目（法语）

另外，您可以使用由我和同事开发的VT-ICAM ArgyrisPack。