特征值问题中的验证

让我们从形式问题开始

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

带有一组给定的边界条件（Dirichlet，Neumann，Robin，Periodic，Bloch-Periodic）。这对应于在某些几何和边界条件下找到某个算子的特征值和特征向量 $\mathcal{L}$ 。例如，可以在声学，电磁学，弹性力学，量子力学等方面获得这样的问题。

我知道可以使用不同的方法（例如，有限差分方法）离散化运算符

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

或使用有限元方法获得

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

在一种情况下，得到一个特征值问题，而在另一种情况下得到一个广义的特征值问题。在获得问题的离散版本后，人们使用求解器来解决特征值问题。

一些想法

由于数值方法（例如FEM和FDM）用于特征值问题，因此验证离散化方案的解（特征值-特征向量对）的方法是什么？

pde finite-element eigensystem verification

— nicoguaro
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您可以将结果与已知案例（正方形，立方体，圆形，球形）的光谱进行比较吗？也有预期收敛速度特征向量和特征值在适当的规范，你可以检查（尽管这些率往往取决于频率的变化-看journals.cambridge.org/action/...）

— 杰西·陈

是的，您可以与解析解决方案进行比较。但是通常它们是为非常简单的情况提供的。问题是关于如何执行验证过程。如果有类似于该方法的东西，请提供制造的解决方案。或者，如果您应将此方法与其他问题结合使用分析解决方案。

— nicoguaro

在一个维度上，如果以所需的开头，并且具有，则可以尝试分解，如果存在，然后使用。我想，这可能会弄乱的对称性和其他属性。这里和应该是线性独立的，并且不能在同一点消失。

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$

— 基里尔，2015年

@JesseChan，感谢您的建议阅读。我花了一些时间，但我读了它。我认为他们没有提供足够的信息以达到预期目的。

— nicoguaro

我想确保我已正确理解您。你想知道如何估计之间的距离计算为离散算子（矩阵或多个矩阵），并为顺利运营商相应的eigenpair特征对？还是您现在要如何估计解决离散特征值问题的准确性？

— 卡尔·克里斯蒂安

我知道这个问题很旧，但是我只是看到它并发现它很有趣。过去，我一直遵循该问题评论中的建议，再加上一些我在文献中熟悉的稍微复杂的案例（奥尔-索默费尔德总是很方便）。

但是，我也知道一些有关构建人工解决方案时出现的非均匀特征值问题的文献。这里对此类问题进行了一些讨论：DOI：10.1016。这些作者还提出了一种所谓的“制造横截面方法”（MXS，我猜想），以完全避免这个问题，我目前不会假装理解它，但可能非常有用。

— 斯宾塞·布林格森
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他们提出的“不均匀特征值问题”是我在原始帖子中提出的方法。不过，我仍在尝试了解“制造横截面的方法”。

— nicoguaro

我意识到，只是建议存在一些有关此类问题的文献，因此它可能不会像您建议的那样死胡同：“在这种情况下，“人造溶液”没有用，因为没有平衡方程的原始项。”

— 斯潘塞·布林格森

这不是对您的帖子的批评。恰恰相反！在阅读参考资料以促进讨论之后，我只是在评论我发现的内容。

— nicoguaro

对于二阶导数（以及简单域上的拉普拉斯算子），离散特征对（即离散化后）的表达式可用。例如，对于有限差分，此处列出了特征对。

可以类似地找到具有有限元离散化的特征对的表达（对于P1和P2离散化）。

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