对流方程的隐式有限差分格式

有许多FD方案为平流式在web讨论。例如在这里：http： //farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

但是我还没有看到有人提出过这样的“隐式”迎风方案： 。$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

我所看到的所有逆风方案都是处理空间导数上一个时间步的数据。是什么原因呢？经典的迎风方案与我上面写的相比如何？

在计算流体动力学中，使用与您建议的相似的隐式方案是很常见的。我知道的那些是基于紧致差分式（不是简单地更换上与Ñ + 1在现有方案）。例如，Lele于1992年在本文中开发了使用最广泛的方案之一，引用次数超过2500。与典型的显式方案相比，可以使这种方案具有更好的分散特性。$n$$n+1$

当使用隐式方法和较大的时间步长时，迎风通常不那么重要，因为大量的扩散（由Jeremy提到）意味着您无论如何都无法解决震动。

关于您建议的特定方案：

• 可以通过使用时间上的空间后向差异和时间上的后向（隐式）欧拉方法，从线法离散获得。
• 它是无条件稳定的，只要（有趣的是，它也是稳定ü < 0，如果时间步长也不算小！） $u\ge0$$u<0$
• 它比传统的显式迎风方案更具耗散性。
• 不同于明确的迎风格式，它不满足单元CFL条件（即，它是不准确，所述壳体）。相反，它满足抗单元CFL条件（它是精确的，如果τ Ù / ħ = - 1）。$\tau u/h = 1$$\tau u/h = -1$

没有理由你不能做你写的事情。之所以不常见的原因之一是，对于双曲线（平流）类型的问题，依赖域是有限的。因此，从计算效率的角度来看，明确的方法是有意义的。

尽管已经编写了三角形，但是您编写的隐式方案将需要求解线性系统，因此求解起来相当简单。当然，当您使用系统和多个维度时，系统可能不会是三角形的，尽管有时这可能会导致您对未知数的正确排序（例如，参见Kwok和Tchelepi，JCP 2007； Gustafsson和Khalighi，JSC，2006）。）。

有时为了希望采取较大的时间步伐，人们会像您所写的那样使用隐式时间步伐，但是在此必须小心。当使用隐式方法时，您将引入大量的扩散，因此您将明显涂抹解决方案。