Questions tagged «advection»

我正在尝试求解平流方程，但是当波从边界反射时，解决方案中会出现奇怪的振荡。如果有人在看过此文物之前，我很想知道原因以及如何避免它！ 这是一个动画gif，在单独的窗口中打开以查看动画（它仅被缓存一次，或仅播放一次！） 请注意，在波开始从第一个边界开始反射之前，传播似乎非常稳定。您认为这里可能会发生什么？我花了几天时间仔细检查我的代码，找不到任何错误。奇怪的是，似乎有两种传播的解决方案：一种是积极的，一种是消极的。从第一个边界反射之后。解决方案似乎沿着相邻的网格点传播。 实现细节如下。 对流方程， ∂ü∂Ť= v ∂ü∂X∂ü∂Ť=v∂ü∂X\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} 其中是传播速度。vv\boldsymbol{v} Crank-Nicolson是对流方程的无条件 稳定离散化，条件是在空间中缓慢变化（傅立叶变换时仅包含低频分量）。u （x ）ü（X）u(x) 我应用的离散化是 ϕn + 1Ĵ- φñĴΔ Ť= v [ 1 - β2 Δ X（ϕñj + 1- φñj − 1） + β2 Δ X（ϕn + 1j + 1- φn + 1j − 1）]ϕĴñ+1个-ϕĴñΔŤ=v[1个-β2ΔX（ϕĴ+1个ñ-ϕĴ-1个ñ）+β2ΔX（ϕĴ+1个ñ+1个-ϕĴ-1个ñ+1个）] …

33 pde  finite-difference  advection 

我对PDE的常见离散化方案不是很熟悉。我知道Crank-Nicolson是离散化扩散方程的流行方案。平流期也是一个不错的选择吗？ 我对解决反应扩散对流方程很感兴趣， ∂u∂t+∇⋅(vu−D∇u)=f∂u∂t+∇⋅(vu−D∇u)=f\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \boldsymbol{v} u - D\nabla u \right) = f 其中DDD是物质的扩散系数uuu和vv\boldsymbol{v}是速度。 对于我的特定应用，方程式可以写成 ∂u∂t=D∂2u∂x2Diffusion+v∂u∂xAdvection (convection)+f(x,t)Reaction∂u∂t=D∂2u∂x2⏟Diffusion+v∂u∂x⏟Advection (convection)+f(x,t)⏟Reaction\frac{\partial u}{\partial t} = \underbrace{D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\textrm{Diffusion}} + \underbrace{\boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}}_{\textrm{Advection (convection)}} + \underbrace{f(x,t)}_{\textrm{Reaction}} 这是我应用的Crank-Nicolson方案， un+1j−unjΔt=D[1−β(Δx)2(unj−1−2unj+unj+1)+β(Δx)2(un+1j−1−2un+1j+un+1j+1)]+v[1−α2Δx(unj+1−unj−1)+α2Δx(un+1j+1−un+1j−1)]+f(x,t)ujn+1−ujnΔt=D[1−β(Δx)2(uj−1n−2ujn+uj+1n)+β(Δx)2(uj−1n+1−2ujn+1+uj+1n+1)]+v[1−α2Δx(uj+1n−uj−1n)+α2Δx(uj+1n+1−uj−1n+1)]+f(x,t)\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n} - …

26 pde  discretization  advection  diffusion 

当我应用不同的边界条件时，我不理解对流扩散方程的不同行为。我的动机是模拟在扩散和对流作用下的实际物理量（粒子密度）。除非从边缘流出颗粒密度，否则内部应保持颗粒密度。按照这种逻辑，如果我强制执行Neumann边界条件，则系统的两端，例如（在左侧和右侧），则系统应“封闭”，即如果边界处的通量为零，则没有粒子可以逸出。∂ϕ∂x=0∂ϕ∂x=0\frac{\partial \phi}{\partial x}=0 对于以下所有模拟，我已将Crank-Nicolson离散化应用于对流扩散方程，所有模拟都具有边界条件。但是，对于矩阵的第一行和最后一行（边界条件行），我允许独立于内部值进行更改。这允许端点完全隐式。∂ϕ∂x=0∂ϕ∂x=0\frac{\partial \phi}{\partial x}=0ββ\beta 下面我讨论4种不同的配置，只有一种是我所期望的。最后，我讨论了我的实现。 仅扩散限制 在此，通过将速度设置为零来关闭对流项。 仅扩散，所有点均为ββ\boldsymbol{\beta} = 0.5（Crank-Niscolson） 如脉冲面积减小所见，该量不守恒。 仅扩散，在内点处 = 0.5（Crank-Niscolson），边界处 = 1（完全隐式）βββ\boldsymbol{\beta}ββ\boldsymbol{\beta} 通过在边界上使用完全隐式方程，可以实现我所期望的：没有粒子逸出。您可以通过保留粒子扩散的区域来看到这一点。为什么在边界点选择影响情况的物理性？这是错误还是预期的？ββ\beta 扩散和平流 当包括对流项时，边界处的值似乎不会影响解。但是，对于所有情况，当边界似乎是“开放的”时，即粒子可以逃脱边界。为什么会这样呢？ββ\beta 在所有点上具有 = 0.5（Crank-Niscolson）的对流和扩散ββ\boldsymbol{\beta} 对流和扩散，在内点处 = 0.5（Crank-Niscolson），边界处 = 1（完全隐式）βββ\boldsymbol{\beta}ββ\boldsymbol{\beta} 对流扩散方程的实现 从对流扩散方程开始， ∂ϕ∂t=D∂2ϕ∂x2+v∂ϕ∂x∂ϕ∂t=D∂2ϕ∂x2+v∂ϕ∂x \frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \boldsymbol{v}\frac{\partial \phi}{\partial x} 使用Crank-Nicolson进行写作， ϕn+1j−ϕnjΔt=D[1−β(Δx)2(ϕnj−1−2ϕnj+ϕnj+1)+β(Δx)2(ϕn+1j−1−2ϕn+1j+ϕn+1j+1)]+v[1−β2Δx(ϕnj+1−ϕnj−1)+β2Δx(ϕn+1j+1−ϕn+1j−1)]ϕjn+1−ϕjnΔt=D[1−β(Δx)2(ϕj−1n−2ϕjn+ϕj+1n)+β(Δx)2(ϕj−1n+1−2ϕjn+1+ϕj+1n+1)]+v[1−β2Δx(ϕj+1n−ϕj−1n)+β2Δx(ϕj+1n+1−ϕj−1n+1)] \frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = …

25 pde  boundary-conditions  advection  diffusion  crank-nicolson 

有许多FD方案为平流式在web讨论。例如在这里：http： //farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html∂Ť∂Ť+ 你∂Ť∂X= 0∂Ť∂Ť+ü∂Ť∂X=0\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0 但是我还没有看到有人提出过这样的“隐式”迎风方案： 。Ťn + 1一世- Ťñ一世τ+ ü Ťn + 1一世- Ťn + 1i − 1HX= 0Ť一世ñ+1个-Ť一世ñτ+üŤ一世ñ+1个-Ť一世-1个ñ+1个HX=0\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0 我所看到的所有逆风方案都是处理空间导数上一个时间步的数据。是什么原因呢？经典的迎风方案与我上面写的相比如何？

15 finite-difference  implicit-methods  advection 

我试图找到一些资源来帮助解释在使用有限差分法求解PDE时如何选择边界条件。 我目前可以使用的所有书籍和笔记都说类似的话： 对于介绍性文本而言，在存在边界的情况下管理稳定性的一般规则过于复杂。他们需要复杂的数学机制 （A. Iserles微分方程数值分析的第一门课程） 例如，当尝试为平流方程实施两步越级方法时： un+1i=un−1i+μ(uni+1−uni−1)uin+1=uin−1+μ(ui+1n−ui−1n)u_i^{n+1} = u_i^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) 使用MATLAB M = 100; N = 100; mu = 0.5; c = [mu 0 -mu]; f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2)); u = zeros (M, N); x = 1/(M+1) * (1:M); u(:,1) = f(x); u(:,2) = f(x + mu/(M+1)); …

14 pde  finite-difference  boundary-conditions  advection 

我试图更好地理解具有可变速度系数的平流方程。我尤其不明白该方程式如何保守。 在平流式， ∂ü∂Ť+ ∂∂X（v u ）= 0∂u∂t+∂∂x(vu)=0 \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0 让我们将u（x，t）解释u （x ，t ）u(x,t)u(x,t)为某些无法创建或破坏的物理物种（ç 米− 3cm−3cm^{-3}）或某些其他物理量的浓度。如果我们在我们的域上积分u （x ，t ）u(x,t)u(x,t)，那么我们应该得到常数， ∫X最大值X分u （x ，t ）dx = 常数∫xminxmaxu(x,t)dx=constant \int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant} （这就是我保守的意思。） 如果现在让速度为空间（和时间）的函数v （x ，t ）v(x,t)\boldsymbol{v}(x,t)，则必须应用链式规则来给出， ∂ü∂Ť+ v ∂ü∂X+ 你∂v∂X？= 0∂u∂t+v∂u∂x+u∂v∂x⏟?=0 \frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial …

13 advection  conservation 

假设我遇到以下周期性一维平流问题： ∂ü∂Ť+ c∂ü∂X= 0∂ü∂Ť+C∂ü∂X=0\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0 在 Ω = [ 0 ，1 ]Ω=[0，1个]\Omega=[0,1] u （0 ，t ）= u （1 ，t ）ü（0，Ť）=ü（1个，Ť）u(0,t)=u(1,t) u （x ，0 ）= g（x ）ü（X，0）=G（X）u(x,0)=g(x) 哪里 G（x ）G（X）g(x) 在处有跳跃间断 X∗∈ （0 ，1 ）X∗∈（0，1个）x^*\in (0,1)。 我的理解是，对于高于一阶的线性有限差分方案，随着时间的推移，不连续附近会出现虚假振荡，随着时间的流逝，会导致解因其预期的波形而失真。根据维基百科的解释，似乎这些振荡通常发生在用有限傅立叶级数近似不连续函数时。 由于某些原因，我似乎无法理解如何在此PDE的解决方案中观察到有限傅立叶级数。特别是，我如何分析地估计“超调”的界限？

9 pde  finite-difference  advection