如何在一维对流方程的数值解中得出杂散振荡的界？

假设我遇到以下周期性一维平流问题：

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ 在 $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
哪里 $g(x)$ 在处有跳跃间断 $x^*\in (0,1)$。

我的理解是，对于高于一阶的线性有限差分方案，随着时间的推移，不连续附近会出现虚假振荡，随着时间的流逝，会导致解因其预期的波形而失真。根据维基百科的解释，似乎这些振荡通常发生在用有限傅立叶级数近似不连续函数时。

由于某些原因，我似乎无法理解如何在此PDE的解决方案中观察到有限傅立叶级数。特别是，我如何分析地估计“超调”的界限？

一阶逆风方法是单调的；它不会引入杂散振荡。但是，它仅是一阶精确的，导致大量的数值扩散，以致无法用于许多目的。戈杜诺夫定理指出，高于一阶的线性空间离散化不能是单调的。为了严格控制振荡，我们使用总变化量减小（TVD）方案。TVD方法通常仅限于二阶精度。对于更高级别的订单，我们必须放宽我们的要求，导致采用总加权有界（TVB）方法，例如（加权）基本非振荡（（W）ENO），或者我们必须放宽TVD的定义，以“保留最大原则”或类似形式，其中初始极值取决于初始重构解，从而导致特殊限制方案。

具有周期边界的一维问题的线性有限差分离散化导致形式的离散化

$$U^{n+1} = LU^n$$

哪里 $L$是循环矩阵。任何循环矩阵的特征向量均为离散傅里叶模式

$$v_j = \exp(ijh\xi)$$ （这里 $h$ 是网格间距， $\xi$是波数，范围从零到网格上可表示的最高波数）。这些特征向量构成了可以在网格上表示的所有函数的基础。如果用这些离散的傅立叶模式表示解，则数值方法将被对角化，即在每个步骤中，每个傅立叶分量都将与（通常为复数）标量因子相乘。标量因子通常被称为放大因子，而我刚刚描述的被称为冯·诺依曼分析。它类似于线性PDE的傅立叶分析，在傅立叶分析中，使用傅立叶基础将线性微分算子“对角化”。

您可以在Strikwerda或LeVeque的文本中找到很好的解释。

并非所有杂散振荡都是吉布斯现象。它们看起来很相似，但是不连续函数的所有有限傅立叶逼近都有吉布斯振荡（随着增加的项，它们会变得更小）。鉴于存在对不需要无限级数的PDE的有限差分逼近解而产生的不连续函数的非振荡表示。

Bathe（迎风方法的Inf-up试验，PDF）针对一维有限元方法（对流扩散，IIRC）发表了一篇论文，其中涉及计算常数的方法。$\inf$--$\sup$条件，并与振荡有关。您可能会从中获得一些见识。

至于你提到有限傅里叶级数及有限元逼近之间的连接最后一个问题：在一般情况下，如果你尝试投射一个跳转功能到有限维空间，其基函数是连续的，你得到吉布斯现象。如果基数是有限傅里叶级数（基函数是正弦和余弦）或基数是通常的有限元帽子函数，则这是正确的-它是投影的属性加上基函数的不合适性。

一种方法是通过等价方程，即离散方法给出最接近的微分方程。这绝不是您要解决的微分方程。然后，将阶跃函数作为初始数据，查看等效方程的渐近解。请看Bouche，D.，Bonnaud，G.和Ramos，D.，2003。比较求解平流方程的数值方案。应用数学字母，16（2），第147-154页。