用有限差分法离散对流方程的边界条件

我试图找到一些资源来帮助解释在使用有限差分法求解PDE时如何选择边界条件。

我目前可以使用的所有书籍和笔记都说类似的话：

对于介绍性文本而言，在存在边界的情况下管理稳定性的一般规则过于复杂。他们需要复杂的数学机制

（A. Iserles微分方程数值分析的第一门课程）

例如，当尝试为平流方程实施两步越级方法时：

$u_i^{n+1} = u_i^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

使用MATLAB

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);
    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

该解决方案表现良好，直到到达边界为止，这时它突然开始表现不佳。

在哪里可以学习如何处理这样的边界条件？

Sloede的回应非常彻底和正确。我只是想添加一些要点，以使其更容易掌握。

基本上，任何波动方程都有固有的波动速度和方向。对于一维波动方程： 的波速度是恒定一个，其确定不仅在将信息域中传播速度也是其方向。如果一> 0，信息是从左至右，如果一个< 0它周围的其他方法。

$$u_t + a u_x = 0$$ $a$$a>0$$a<0$

对于跳蛙法，当您离散方程式时，您会得到： 或： ü ñ我 =û ñ - 2我 +μ（Ü ñ - 1 我+ 1 -Ü ñ - 1 我- 1）其中μ=-一个Δ吨/ΔX。在您的情况下，μ>

$$\frac{u_i^{n} - u_i^{n-2}}{2 \Delta t} + a \frac{u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1}}{2 \Delta x} = 0$$ $$u_i^{n} = u_i^{n-2} + \mu (u_{i+1}^{n-1} - u_{i-1}^{n-1})$$ $\mu = -a \Delta t/\Delta x$$\mu > 0$转换为向左移动的波浪。现在，考虑一下，向左传播的波只需要在右边界处有边界条件，因为向左的所有值都通过它们的右邻域进行更新。实际上，在左边界处指定任何值都与问题的性质不一致。在某些方法中，例如简单的迎风，这是自动进行的，因为该方案还仅在模板中包含正确的邻居。在其他方法中，例如“跳蛙”，您必须指定一些“正确”的值。

这通常是通过从内部域外推来找到缺失值来完成的。对于多维和非规范问题，这涉及找到通量雅可比行列的所有特征向量，以确定边界的哪些部分实际上需要边界条件，哪些部分需要外推。

常规答案
您的问题是根本没有设置（甚至指定）边界条件-您的数字问题定义不明确。

通常，有两种方法可以指定边界条件：

1. $u_{0}$$u_{101}$
2. 更改数字模具，使其仅在边界处使用内部信息。

到底走哪条路取决于问题的物理性质。对于波动方程式问题，通常确定通量雅可比矩阵的特征值，以便确定是否需要外部边界条件，或者是否要使用内部解法（此方法通常称为“迎风”）。

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$u_{i-1}^n$$u_{i+1}^n$$i$$n+1$$i = 1$$u_{0}^n$$u_{100}^{n+1}$$u_{101}^n$

$u_{1}^n$$u_{100}^n$

您可以在下面找到源代码的修改版本：

M = 100; N = 100;

mu = 0.5;

c = [mu 0 -mu];
f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2));

u  = zeros (M, N);
x = 1/(M+1) * (1:M);

u(:,1) = f(x);
u(:,2) = f(x + mu/(M+1));

for i = 3:N
    hold off;
    %u(:,i) = conv(u(:,i-1),c,'same') + u(:,i-2);

    % Apply the numerical stencil to all interior points
    for j = 2:M-1
        u(j,i) = u(j,i-2) + mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
    end

    % Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
    u(1,i) = 2*u(2,i) - u(3,i);
    u(M,i) = 2*u(M-1,i) - u(M-2,i);

    plot(x, u(:,i));
    axis( [ 0 1 0 2] )
    drawnow;
end

因此，我已经对此进行了更详细的研究，似乎这（至少在我正在处理的基本情况下）取决于方法的组速度。

跳过方法（例如）为：

$u_{i}^{n+1} = u_{i}^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n)$

尝试形式的解决方案 $u_k^n = e^{i( \zeta k \Delta x + \omega(\zeta) n \Delta t)}$ 我们发现：

$e^{2 i \omega \Delta t} = 1 + \mu e^{i\omega \Delta t} ( e^{i \zeta \Delta x} - e^{-i \zeta \Delta x} )$

$\sin(\omega \Delta t) = \mu \sin (\zeta \Delta x)$

$\frac{d\omega}{d\zeta} = \frac{\cos (\zeta \Delta x)}{\sqrt{1-\mu^2 sin^2(\zeta \Delta x)}} \in [-1,1]$

现在我们需要找出边界条件的群速度：

我的方法：$u_1^{n+2} = u_1^n + \mu u_2^{n+1}$

我们可以如下计算边界群速度：

$2 i \sin(\omega \Delta t) = \mu e^{i \zeta \Delta x}$

因此要找到边界允许的某些群速度，我们需要找到：

$\omega = c \zeta$

$\cos(\zeta \Delta x) = 0, \mu \sin(\zeta \Delta x) = 2 \sin (\zeta c \Delta t)$

$\zeta = \frac{\pi}{2 \Delta x}$ would give $\mu = 2 \sin (\frac{c \mu \pi}{2})$ for which a solution for $c \in [-1,1]$ will exist. (For most choices of $\mu$ at least)

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The solution which I've found in the literature is to take $u_0^{n+1} = u_1^{n}$ 因为它的边界波数在外面 $[-1,1]$。

在我完全理解之前，我还有很多要阅读的内容。我认为我要寻找的关键词是GKS理论。

所有这些源于Iserles第三部分注释

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有关我所做工作的更清晰的计算，可以在这里找到：http : //people.maths.ox.ac.uk/trefethen/publication/PDF/1983_7.pdf

伙计们，我是这个网站的新手。也许这不是要问的地方，但是请原谅我，因为我在这里很新：)我有一个非常相似的问题，唯一的区别是启动函数，在我的情况下是余弦波。我的代码是这样的：全部清除；clc; 关闭所有;

M = 1000；N = 2100；

mu = 0.5；

c ＝ [μ0-μ]；f = @（x）1- cos（20 * pi * x-0.025）。^ 2; u =零（M，N）; x = 0：（1 / M）：0.05; u（1：length（x），1）= f（x）; u（1：length（x），2）= f（x-mu /（M））; x = linspace（0,1，M）;

因为我= 3：N推迟;

% Apply the numerical stencil to all interior points
for j = 2:M-1
    u(j,i) = u(j,i-2) - mu*(u(j+1,i-1) - u(j-1,i-1));
end

% Set the boundary values by interpolating linearly from the interior
u(M,i) =  2*u(M-1,i-1) - u(M-2,i-1);

plot（x，u（：，i））; 轴（[0 1.5 -0.5 2]）拉伸; ％暂停结束

这里已经有此代码，但是由于某种原因，可能与余弦波有关，我的代码失败了：//任何帮助将不胜感激:)谢谢！