变速对流方程可以保守吗？

我试图更好地理解具有可变速度系数的平流方程。我尤其不明白该方程式如何保守。

在平流式，

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$$

让我们将u（x，t）解释$u(x,t)$为某些无法创建或破坏的物理物种（$cm^{-3}$）或某些其他物理量的浓度。如果我们在我们的域上积分$u(x,t)$，那么我们应该得到常数，

$$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$$

（这就是我保守的意思。）

如果现在让速度为空间（和时间）的函数$\boldsymbol{v}(x,t)$，则必须应用链式规则来给出，

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$$

最后一个术语“看起来”像源术语，这让我感到困惑。它将根据速度场的发散来增加或减少量。$u$

紧接着这个问题，我了解了如何施加保护边界条件。但是，对于变速平流方程，由于应用链式规则引入了额外的“源项”，因此我不了解如何导出守恒边界条件。这个方程式可以保守吗？如果是这样，如何应用正确的边界条件？

在运输的基本量是流量，的对流。散度定理指出$\mathbf v u$

$$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$$

当方程保持这种相等性时，它就是保守的。下降到1D与，并使用等式，我们有u t + （v u ）x = $\Omega = (a,b)$$u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

$$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$$

其中右边的术语只是左右边界之间的通量之差。

关于您的第二个观察，非保守（非分歧）形式具有误导性（仅对于平滑解是合理的）。该产品是不保守的运输，如果不无散度（即恒定在1D）。您应该坚持保守的形式，并避免在评估保护性时应用链式规则的冲动。$\mathbf v \cdot \nabla u$$\mathbf v$