在完全封闭的诺伊曼边界条件（边界处的反射）下通过有限差分求解对流方程时的奇异振荡

我正在尝试求解平流方程，但是当波从边界反射时，解决方案中会出现奇怪的振荡。如果有人在看过此文物之前，我很想知道原因以及如何避免它！

这是一个动画gif，在单独的窗口中打开以查看动画（它仅被缓存一次，或仅播放一次！）

请注意，在波开始从第一个边界开始反射之前，传播似乎非常稳定。您认为这里可能会发生什么？我花了几天时间仔细检查我的代码，找不到任何错误。奇怪的是，似乎有两种传播的解决方案：一种是积极的，一种是消极的。从第一个边界反射之后。解决方案似乎沿着相邻的网格点传播。

实现细节如下。

对流方程，

$\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}$

其中是传播速度。$\boldsymbol{v}$

Crank-Nicolson是对流方程的无条件 稳定离散化，条件是在空间中缓慢变化（傅立叶变换时仅包含低频分量）。$u(x)$

我应用的离散化是

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

将未知数放在右侧可以使它以线性形式编写，

$\beta r\phi_{j-1}^{n+1} + \phi_{j}^{n+1} -\beta r\phi_{j+1}^{n+1} = -(1-\beta)r\phi_{j-1}^{n} + \phi_{j}^{n} + (1-\beta)r\phi_{j+1}^{n}$

其中（取当前点和未来点之间的时间平均权重）和。[R = v Δ $\beta=0.5$$r=\boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2\Delta x}$

这些方程组的矩阵形式为，其中，$A\cdot u^{n+1} = M\cdot u^n$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & -\beta r & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & \beta r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & (1 - \beta)r & & & 0 \\ -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r \\ 0 & & &-(1 - \beta)r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

向量和是我们要求解的数量的已知和未知量。$u^n$$u^{n+1}$

然后，我在左右边界上应用封闭的 Neumann边界条件。封闭边界表示两个接口上的。对于封闭边界，事实证明（在这里我不会显示我的工作），我们只需要求解上述矩阵方程即可。正如@DavidKetcheson指出的那样，上述矩阵方程实际上描述了Dirichlet边界条件。对于诺伊曼边界条件，$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

更新资料

该行为似乎与我使用的常量的选择完全无关，但是这些是您在上面看到的图的值：

• $\boldsymbol{v}$ = 2
• dx = 0.2
• dt = 0.005
• $\sigma$ = 2（高斯hwhm）
• $\beta$ = 0.5

更新二

具有非零扩散系数的模拟（请参见下面的评论），振荡消失了，但波不再反射！我不明白为什么？$D=1$

您要求解的方程式不允许右移解决方案，因此该方程式没有反射边界条件之类的问题。如果考虑这些特性，您将意识到只能在正确的边界处施加边界条件。您试图在左边界上施加齐次Dirichlet边界条件，这在数学上是无效的。

重申一下：特征方法说，对于任何常数，解必须在形式的任何直线上都是常数。因此，沿着左边界的解决方案是由您的问题域内的解决方案在更早的时候确定的；您不能在此处强加解决方案。$x-\nu t = C$$C$

与方程式不同，您的数值方案确实接受正确的解。正确的模式称为寄生模式，并且涉及很高的频率。请注意，右行波是一个锯齿波包，与可以在网格上表示的最高频率相关。那波纯粹是由离散化产生的数字伪像。

需要强调的是：您尚未写下要解决的全部初始边界值问题。如果这样做，很显然这不是一个数学上合理的问题。

不过，我很高兴您在此处发布此内容，因为它很好地说明了当离散化一个不适当地提出的问题时可能发生的情况以及寄生模式现象。我的问题大+1。

我从上述答案中学到了很多东西。我想包括这个答案，因为我相信它可以提供对该问题的不同见解。

$$\begin{eqnarray} u_{xx} + \frac{1}{c} u_{tt} = 0. \end{eqnarray}$$ $c$

$u(x,t)=f(x-ct)$

$u(x,t_0)=p(x)$$x \in (-\infty, \infty)$$p[x-c(t-t_0)]$

$x \in [a,b]$$a$$b$

$t_0$

$$\begin{eqnarray} u(a,t_0)=0 \quad , \quad u(b, t_0) = p[b-c(t-t_0)]. \end{eqnarray}$$

这将产生一个向右运行的脉冲，直到在右边缘消失。

在此处向左推动Dirichlet上的动画

我仍然听到一些我听不懂的声音（有人可以帮忙吗？）

另一种选择是施加周期性边界条件。那不是在左边施加Dirichlet边界条件，我们可以在左边施加与边界一致的波包。那是：

$$\begin{eqnarray} u(a,t_0)=p[a-c(t-t_0) ] \quad , \quad u(b, t_0) = p[b-c(t-t_0)]. \end{eqnarray}$$

$a-c(t-t_0) <a$$t>t_0$$c>0$$[a,b]$$b-a$$a-c(t-t_0)+b-a=a+b(t-t_0)$$u(a,t_0)=p[b-c(t-t_0]$

该 链接 显示了我所说的周期性边界条件。

我用python制作了动画，该方案是Crank-Nicholson方案，如此处问题所示。

在波到达第一个（右）边界之后，我仍在为噪声模式而苦苦挣扎。