在FEM中，为什么刚度矩阵是正定的？

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在FEM类中，通常认为刚度矩阵是正定的，但我只是不明白为什么。有人可以解释一下吗？

例如，我们可以考虑泊松问题：其刚度矩阵为：其中是对称且正定的对称性是一个显而易见的特性，但是对我而言，正定性不是那么明确。

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$

finite-element matrix stiffness

— 用户123
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这实际上取决于您要求解的偏微分方程。您可以添加您感兴趣的那个吗？

— Christian Clason

嗨，@ ChristianClason，谢谢您的评论。我已添加了此问题的具体示例。

— user123 2015年

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警告：如果没有边界条件，则由单元矩阵组装而成的完整系统刚度矩阵将不具有完整等级，因为它必须将刚体运动的等效映射为零力。因此，完整的刚度矩阵充其量只能是正半定的。但是，在适当的边界条件下，刚体运动将被禁用，并且受约束的系统将变得非奇异。（否则无法解决）。因此，要找到实际的正定性，您必须查看边界条件的应用所产生的压缩矩阵。

— ccorn

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该性质来自于相应的（偏微分形式）偏微分方程的性质；与有限差分法相比，这是有限元方法的优势之一。

为了看到这一点，首先回想起有限元方法是从泊松方程的弱形式开始的（我在这里假设Dirichlet边界条件）：找到使得这里的重要属性是（来自庞加莱的不等式。） $u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

现在经典的有限元方法是将无限维空间替换为有限维子空间并找到使得重要属性这里您正在使用相同的和子空间（符合离散化）；也就是说，对于，您仍然有 $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

现在对于最后一个步骤：为了转化变形式的线性方程组，你选择的基础的系统的，写入并将，插入。然后，刚度矩阵具有条目（与您编写的内容一致）。 $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

现在取任意向量然后在设置。那么就需要通过和的双线性（即，可以移动的标量和资金投入两个参数）由于是任意的，因此这意味着是正定的。 $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR：刚度矩阵是正定的，因为它来自一个（自伴）椭圆偏微分方程的一致离散化。

— 克里斯蒂安·克拉森
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如果单元的刚度不为正，则系统不稳定。因此，该模型很可能是不正确的。看一下谐波振荡器的最基本方程式

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

如果为负，则解不稳定（请看特征方程的根）。这意味着解决方案将爆炸。刚度必须是恢复力。至少对于物理弹簧而言。刚度矩阵将其扩展到大量元素（整体刚度矩阵）。就这些。但这是相同的基本思想。FEM基础是用于结构分析的刚度矩阵方法，其中每个元素都具有与其关联的刚度。 $k$

— 纳赛尔
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