Gröbner基和多项式系统解决方案的基准

在最近的具有7个非线性代数方程式的问题求解系统中，布莱恩·鲍彻斯（Brian Borchers）实验性地证明，枫树可以求解Matlab / Mupad无法处理的多项式系统。过去，我从该领域的工作人员那里听说，枫树具有Gröbner基和相关算法的高质量实现（我认为这里正在使用）。

因此，我很想建议“ Matlab在此类问题上进展缓慢，请切换到Maple”，但我希望有数据来支持该声明。

是否存在一组基准测试结果，用于比较不同计算机代数系统中Gröbner基实现和多项式系统解决方案的速度和有效性？（Maple，Mathematica，Matlab的符号工具箱等）。

我在这里发布了一些基准测试：http : //www.cecm.sfu.ca/~rpearcea/mgb.html

这些是总学位课程。要解决系统问题，通常需要做更多的工作。时序针对的是截至2015年的典型中端台式机（Haswell Core i5四核）。

一个内核上最快的系统是Magma，它使用浮点算法和SSE / AVX。岩浆是最强大的系统，因为它具有FGLM和Groebner walk的良好实现（未测试）。这些算法用于将总程度基础转换为具有三角形形式的词典基础。然后，通常会在最低变量中考虑多项式。

mgb是Maple 2016中的C库，它实现了针对总程度和消除顺序的F4算法。当使用多核时，其性能可与Magma媲美。

FGb是Faugere对F4的实现。此处测试的版本来自他的网站，并且比Maple中的版本更快。

Giac是带有F4实现的开源系统。有一篇描述它的论文http://arxiv.org/abs/1309.4044

Singular是一个用于代数几何计算的开源系统。此处的基准使用“ modStd”，它是Buchberger算法的多模块版本。您可以看到Buchberger算法与F4不具有竞争优势。根本原因是F4分摊了所有单项操作的成本。除此之外，Singular具有FGLM和Groebner Walk的相当好的实现，以及其他对求解有用的算法。

谷歌搜索benchmark polynomial systems引起了一些轰动，其中包括曼海姆大学的计算机代数基准研究计划。可悲的是，其中大多数已过时或已失效。最活跃的似乎是SymbolicData Wiki，但据我所知，它仅收集基准测试问题，而不收集基准测试结果。

可以在Hans-GertGräbe中找到Axiom，Macsyma，Maple，Mathematica，MuPAD和Reduce多项式系统的一些比较（可追溯到1996年），关于Axiom，Macsyma，Maple，Mathematica，MuPAD 的多项式系统求解工具， and Reducing，Preprint 11/96 des InstitutsfürInformatik，德国莱比锡大学，1996年12月。结论是Axiom，Maple和Reduce赢得了胜利，这归功于他们使用了Gröbner基地（其他人此时还没有这样做），而Maple的表现略领先于其他人。

SINGULAR网站上还有一个较旧的比较，显示SINGULAR 2.0（截至2015年12月为4.0.2）击败了Maple等。

另一方面，最近的出版物（孙尧，林东大和王定康。2015年。使用M4RI的线性代数例程实现基于签名的Gröbner基算法。ACMCommun.Comput.Algebra 49，2（2015年8月） 63-64将作者的Gröbner基算法的实现与Maple，Singular和Magma的实现进行了比较，其中Magma比其他两个包快一个数量级（并与作者的实现联系在一起）。

因此，它似乎在很大程度上取决于问题（大小和结构）以及最快的软件包的软件版本。但是，建议使用主动开发的专用计算机代数系统（例如奇异，岩浆或枫树）而不是通用符号计算软件。这对于数字软件中的工具箱来说要翻倍，这增加了另一层开销，通常比它们所基于的独立软件（MuPAD，在Matlab的工具箱中为Maple）低几个版本。

请始终记住，任何基准测试的结果，除了问题的大小外，还取决于定义多项式环的基础字段（有理数或以质数的幂为模的整数）。

该的FGb库是一个积极的发展和高性能实现F5算法。将FGb与Magma进行比较的基准可以在以下位置找到：

Faugère，J.-C。（2010）。FGb：一个用于计算Gröbner基的库（第84–87页）。doi：10.1007 / 978-3-642-15582-6_17