PDE反问题中的逐点观察与连续观察

我的博士生正面临一个反问题。研究，为简单起见，我们会说是确定在$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

从一些意见 ; k 0是一个常数，并且f是已知的。通常将此公式化为用于优化的优化问题$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

其中是拉格朗日乘数。可以通过求解伴随方程来计算J相对于β的泛函$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

由于通常的原因，一些正则化函数被添加到问题中。$R[\beta]$

这里不言而喻的假设是，在整个域Ω中连续定义了观测数据。我认为改用我的问题可能更合适$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

$x_n$$\sigma_n$$n$

这使我停顿一下，因为伴随方程变为

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

$\delta$

我找不到相对于我正在研究的特定问题或一般而言，在逆问题中假设进行连续或逐点测量的任何比较。通常使用逐点测量，而无需提及初始规律性问题，例如此处。有没有发表的工作比较连续测量和逐点测量的假设？我应该担心点型情况下的增量函数吗？

该字段的度量通常是不完整的和缺少的块；如果可以避免，为什么要进行插值以获得连续的可疑保真度？

您是完全正确的-在大多数情况下，插值覆盖整个域的连续字段是不可行的。考虑一下天气预报问题，其中的测量（点源）仅在选定的域位置可用。我想说的是，当您考虑“现实生活中的”逆问题时，逐点数据比异常更常见。

我最好的猜测是，应该根据对所有场的有限元逼近来定义目标函数（先离散化然后优化），而不是根据实场来定义目标函数，然后再将其离散化（先优化再离散化）。

这两种方法并不等效（非常简单的问题除外）。有大量文献将这两种方法进行了比较（每种方法都有其优缺点）。我将向您介绍Max Gunzburger的专着（尤其是第二章的结尾）。

有没有发表的工作比较连续测量和逐点测量的假设？我应该担心点型情况下的增量函数吗？

您可以精确地表示源项-即，您的源项将被建模为Dirac分布（离散近似于a）[ Arraya et al。，2006 ]，或者您可以通过一些正则化函数来近似源项（已完成） ，例如，在沉浸边界方法中）。看看（对于初学者而言）Hosseini等人的最新论文。（以及其中的参考）。

要进一步扩展@GoHokies的答案：如果您对规律性问题感兴趣，还可以询问什么是“点测量”。在物理实践中，您无法在“点”上测量任何东西。相反，您总是会在某种时空块上获得某种平均值：温度计不是一个点，而是一个扩展的对象，它需要时间来适应周围介质的温度。浓度测量设备需要有限的样本量；等等

从数学上讲，这意味着功能中的增量函数实际上是在足够小的区域和/或时间间隔内的平均值。因此，对偶方程的右手边也是有限的，并且不会出现规则性问题。

当然，实际上，您通常将无法解析使用有限元网格进行测量的较小空间或时间间隔。也就是说，在您可以解析的长度刻度上，右侧的确看起来很奇异，因此解决方案也是如此。但是，由于您已经引入了离散化误差，因此您还可以通过具有相同权重的离散逼近来规范要测量的体积的特征函数。如果做对了，您将引入一个不大于离散化误差的误差，这将为（离散）对偶方程获得一个非常好的右侧函数。