具有网格相关稳定性的元素的有用性

在完成了与3D斯托克斯问题中的元素稳定性相关的一些数学运算后，我有点震惊地意识到对于任意四面体网格不是稳定的。更准确地说，如果您有一个元素，其中所有节点和四个构面中的三个构面都以Dirichlet条件位于域的边界上，则最终会得到一个奇异矩阵。实际上，从斯托克斯体系的薄弱形式得出结论是相当琐碎的。 $P_2-P_1$

我测试了我可以访问的唯一商业Stokes代码（COMSOL），它允许我创建这样的网格。单击解决后，我得到预期的“错误：奇异矩阵”。（我的印象是COMSOL将用于其蠕变流模块。） $P_2-P_1$

为了进一步测试问题是否与其他配置无关，我尝试了以下网格，一切都按预期进行。

问题：自适应或非自适应）网格生成器是否考虑了这种约束？我从各种研究论文中看到，该元素似乎很受欢迎。在选择使用方法时，这些边界不稳定性通常被忽略吗？更重要的是，拥有一个稳定的有限元真正意味着什么，即哪种网格相关的不稳定性太大，以至于我们得出结论该方法不好？

stability navier-stokes unstructured-mesh

— n
source

有趣的问题！据我所知，这些元素通常是由多维数据集上的结构化四面体网格生成的，此类元素在具有非结构化节点化算法的实际应用中仅扮演很小的角色。我已经尝试了一段时间，但无法使用生成完全非结构化网格的网格生成器来生成此类网格。我怀疑他们采用一种机制来避免这种过度约束的元素。虽然我没有访问COMSOL的权限，但是我想对于大多数求解器来说，这些元素都不会带来很大的问题。

— Christian Waluga '16

我想知道这是否也是MINI元素的问题？

— Daniel Shapero

我认为MINI没有这个问题。单个内部自由度将节省情况。Stokes的唯一性条件是。令。选择其中是某个中的气泡。这使为局部常数，而连续性负责其余部分。

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

— knl

$p$ $p$

网格生成器通常具有一个选项来处理这个问题，例如在2D网格生成器bamg的freefem++具有-splitpbedge在具有边界上两端的任何边缘的中间添加一个节点的选项。根据bamg文档，非结构化网格生成可以返回此类三角形。

— 乔斯
source

您确定例如2D Stokes中的Taylor-Hood就是这种情况吗？我的直觉告诉我，与边缘相关的自由度将情况保存在那里。在3D Taylor-Hood中，没有与小平面相关的自由度，因此会出现不稳定性。

— knl

您说得对，可能是这样。我认为Taylor-Hood的inf-up条件的Verfuhrt证明足以证明这一点，但现在还没有时间。

— 乔斯